Delta-Epsilon กับฟังก์ชันต่อเนื่อง

[Chronon]

ช่วงนี้ผมมึนๆ ครับ เจอโจทย์ง่ายๆ แบบนี้ไป ทำไม่ออกเลยทีเดียว รบกวนชี้แนะด้วยครับ

จงพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน $f(t)=\sqrt{1-t^2} $ ต่อเนื่องบนช่วง $[0,1]$
โดยใช้เพียงแค่นิยามของ delta-epsilon (ห้ามลักไก่ว่าเป็น composite ของฟังก์ชันต่อเนื่องนะครับ)

[nooonuii]

อุปสรรคอย่างหนึ่งในการเรียนวิชา Analysis คือ ผู้เรียนขาดทักษะในการสร้างและพิสูจน์อสมการ

ผมว่านี่คือจุดบอดที่คนสร้างหลักสูตรสำหรับสาขาคณิตศาสตร์ไม่ควรมองข้าม

สำหรับโจทย์ข้อนี้ลองพิสูจน์อสมการนี้ครับ

ถ้า $x,y\geq 0$ แล้ว $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq\sqrt{|x-y|}$

ดังนั้น ถ้า $a,x\in [0,1]$ แล้ว

$|\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}|\leq\sqrt{|x-a||x+a|}\leq \sqrt{2|x-a|}$

ที่เหลือลองไปเติมรายละเอียดดูครับ

โจทย์ Analysis บางข้อสามารถจัดการได้อย่างง่ายดายด้วยอสมการเพียงอสมการเดียว

แนะนำว่าให้ฝึกพิสูจน์อสมการเยอะๆครับ ไม่ต้องยากๆเหมือนระดับ สอวน. หรือ โอลิมปิกก็ได้

แค่อสมการสำหรับสองตัวแปรก็เหลือกินเหลือใช้แล้ว

[Chronon]

โอ้ ขอบคุณมากครับ!

นิดนึงนะครับ พอจะมีอสมการอันไหนที่ใช้บ่อยๆ ในเรื่องนี้บ้างครับ นอกจากอสมการสามเหลี่ยม
แบบที่ว่ายกมาใช้สำเร็จรูปได้เลยน่ะครับ (เรื่องพวกนี้ผมเหวี่ยงทิ้งไปตั้งแต่จบค่ายโอลิมปิกละครับ แหะๆ)

[nooonuii]

ถ้าเป็นระดับมหาวิทยาลัย เทคนิคเกี่ยวกับอสมการที่ผมใช้บ่อยคือ

1. ฟังก์ชันเพิ่ม - ลด

2. Mean - Value Theorem สามารถสร้างอสมการที่คล้ายๆกับโจทย์ที่ถามมาได้เยอะแยะ เช่น

$|\cos{x}-\cos{y}|\leq |x-y|$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$

3. อสมการสามเหลี่ยม

4. Lagrange Remainder Theorem (เกี่ยวกับการประมาณฟังก์ชันด้วย Taylor polynomial)

อสมการที่เคยเรียนในระดับ สอวน. หรือโอลิมปิกก็ยังใช้ได้ครับ

โดยเฉพาะอสมการโคชี และ Jensen มีแทรกซึมอยู่ในหลายเนื้อหา