สมาคม คณิตศาสตร์ ม ปลาย ปี 2551

[อิคคิวเจ้าปัญหา]

อยากได้วิธีข้อ31เเละ33 อ่าครับ

[พิทยพัฒน์]

นี้เป็นเฉลยคำตอบที่เพื่อนๆผมคิดได้นะครับ ไม่ทราบว่าจะเป็นประโยชน์มากน้อยเพียงใดแต่ถ้าผิดพลาดที่ใดก็ขอโทษด้วย
1 ข
2 ค
3 ก
4 ง
5 ข
6 ง
7 ก
8 ข
9 ค
10 ก
11 ง (แก้ให้แล้วครับ)
12 ข
13 ค
14 ก
15 ค
16 ค
17 ก
18 ข
19 ง
20 ค
21 เซต = $[10,26]$
22 พื้นที่ = 16
23 3p-2q+6r
24 a=28 b=16
25 2.5
26 7
27 $\frac{11-k}{66}$
28 $\frac{9^n-8^n-5^n+4^n}{9^n}$
29 584
30 $\frac{-1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}i}{2}$
31 17
32 $\frac{-1}{\sqrt{2}}$
33 $\frac{31}{32}$
34 101
35 $\sqrt{2}$
เอาหล่ะเพื่อนๆได้คะแนนเท่าไหร่กันบ้างครับ ผมเองก็คงตกรางวัลชมเชยไปแล้วนะครับเนี่ย

[gon]

ข้อ 33 สรุปว่าตอนนี้มีโจทย์อยู่ 2 แบบ คือ ที่คุณ Chronon กับ คุณ butare พิมพ์มาไม่ตรงกัน คนที่มีข้อสอบช่วยดูให้หน่อยครับว่าแบบไหนถูกกันแน่

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 33 สรุปว่าตอนนี้มีโจทย์อยู่ 2 แบบ คือ ที่คุณ Chronon กับ คุณ butare พิมพ์มาไม่ตรงกัน คนที่มีข้อสอบช่วยดูให้หน่อยครับว่าแบบไหนถูกกันแน่

ผิดทั้งคู่ครับ ที่ถูกเป็นแบบนี้ครับ

[RoSe-JoKer]

วันนี้ผมได้ไปเจอ อาจารย์ไพศาลมา ซึ่งอาจารย์ได้ซักถามเกี่ยวกับโจทย์สมาคม เลยทำให้ผมได้รับรู้ความจริงเกี่ยวกับโจทย์สมาคมคณิตศาสตร์ข้อนี้เข้า
11.1 กำหนด A เป็นเมตทริกซ์ ขนาด 2x2 B เป็นเมตทริกซ์ขนาด 2x1 จงพิจารณาว่าถ้า
$AX=B$ มีคำตอบแล้ว $A^tX=B$ มีคำตอบ จริงหรือไม่??
ผมเองก็ไม่รู้ว่าเพื่อนๆจะตอบอะไรไปแต่สำหรับผมผมคิดว่าน่าจะจริงเนื่องจากถ้า $AX=B$ มีคำตอบแล้วแสดงว่า $det(A)\not= 0$ จึงทำให้ได้ว่า $det(A^t)\not= 0$ ด้วยรวมกับความรู้เรื่องการแก้สมการของเครเมอร์ ดังนั้นตอนแรกผมจึงน่าจะมีคำตอบจริง ...แต่ถ้าเราลองพิจารณาดูดีๆแล้วซึ่งในที่นี้จะขออนุญาตยกตัวอย่าง Matrix ขึ้นมาสมมุติให้ $A=\bmatrix{9 & 3 \\ 18 & 6} B=\bmatrix{2 \\ 4}$ เห็นได้ว่า สมการ $AX=B$ จะมีคำตอบเป็นอนันต์ แต่ถ้าเราลองพิจารณา $A^tX=B$ ดูแล้วเราจะได้ว่าสมการไม่มีคำตอบอย่างเห็นได้ชัด จึงได้ว่าข้อนี้ผิดนั้นเอง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ถ้า $AX=B$ มีคำตอบแล้วแสดงว่า $\det(A)\not= 0$

ข้อความนี้ไม่จริงครับ แต่จะเป็นจริงถ้าสมการ $AX=B$ มีคำตอบเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อความนี้ไม่จริงครับ แต่จะเป็นจริงถ้าสมการ $AX=B$ มีคำตอบเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

ครับ มันเป็นความจริงที่ผมเพิ่งสังเกตเห็นหลังจากที่ผมได้ลองคิดพิจารณาดูดีๆหลังจากผ่านการเรียนเรื่องเมตทริกซ์มาเป็นเวลานานปีกว่าๆเลยหล่ ะครับ ขอบคุณพี่ nooonuii มากเลยครับ

[butare]

ขอโทษที่พิมพ์โจทย์ผิดครับ พอดีรีบไปหน่อย

[B บ ....]

เฮ้อ ทำกันได้เยอะจังเก่งกันจังครับ

เออ ช่วยเฉลยข้อ 12 ตอนที่ 1 ทีครับ
มันแปลกๆ อ่ะ

[butare]

ใครพอรู้ช่วยเฉลยข้อ 33 กับ 34 ให้หน่อย

[butare]

ข้อ 34 คิดได้แล้ว 101 องศา ผมจะลงเฉลยให้
ช่วยดูว่าถูกไหมครับ
แต่ 33 ยังคิดไม่ออกเลย
ใครก็ได้ช่วยเฉลย หรือ hint ให้ที

[Sophia_Venus]

ข้อ 32 ดูเผิน ๆ เหมือนง่าย แต่ลองคิดดูแล้ว ยังคิดไม่ออกเลยค่ะ พี่ ๆ คนไหน มีวิธีคิด ช่วยแสดงให้ดูด้วยนะคะ ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Chronon

32. จงหาค่าของ
$$\lim_{x \to \pi^{+}}\frac{\sqrt{2}\sin x + \sqrt{2\sin^2 x + 2\sin x + \sin 2x} }{1 + \cos x} $$

ขออนุญาตขุดกระทู้นิดนึงนะครับ

พอดีผมเห็นว่ามีจุดน่าสนใจในข้อนี้อยู่อย่างนึง เกี่ยวกับวิธีหาคำตอบของข้อนี้

วิธีนึงที่สามารถทำได้ ก็คือ ใช้เอกลักษณ์ $ \tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1+ \cos x}$ เพือเปลี่ยนฟังก์ชันที่เราจะ take limit ให้อยู่ในรูปแบบของ $ f( \tan(\frac{x}{2}))$ จากนั้นใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $$ \lim_{x \to \pi^{+}} \tan(\frac{x}{2}) = -\infty $$ ในการหาค่าลิมิต ซึ่งจะได้คำตอบเป็น $ - \frac{\sqrt{2}}{2}$

แต่ผมอยากให้ดูอีกวิธีครับ ซึ่งให้คำตอบไม่ตรงกัน โดยถ้าดูเผินๆ ก็ไม่น่ามีอะไรผิด แต่มันมีที่ผิดอยู่จุดนึงครับ ลองหากันดูนะครับ ว่า ตรงไหน

เพื่อไม่ให้เกิด กรณี $ \frac{0}{0}$ จะแปลงฟังก์ชันที่จะ take limit ดังนี้
$ \frac{\sqrt{2}\sin x + \sqrt{2\sin^2 x + 2\sin x + \sin 2x} }{1 + \cos x} = \frac{\sqrt{2}\sin x + \sqrt{2\sin x (\sin x + \cos x + 1)} }{1 + \cos x} = \frac{\sqrt{2 \sin x}( \sqrt{\sin x + \cos x + 1} + \sqrt{\sin x})}{1 + \cos x} $

จากนั้นก็ conjugate เพื่อให้ตัดกับ $ 1+ \cos x $ จะได้บรรทัดด้านล่าง

$ \frac{\sqrt{2 \sin x}( \sqrt{\sin x + \cos x + 1} + \sqrt{\sin x})}{1 + \cos x} = \frac{\sqrt{2 \sin x}}{ \sqrt{\sin x + \cos x + 1}-\sqrt{\sin x}}$ ซึ่งก็ยังเป็นรูปแบบ $ \frac{0}{0}$ อยู่

จัดรูปอีกครั้ง โดยใช้สูตร $ \sin 2 \theta \,\, , \cos 2 \theta $ จะได้ผลตามด้านล่าง

$ \frac{\sqrt{2 \sin x}}{ \sqrt{\sin x + \cos x + 1}-\sqrt{\sin x}} = \frac{2\sqrt{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} }}{\sqrt{2\cos \frac{x}{2}} (\sqrt{\cos \frac{x}{2}+ \sin \frac{x}{2}}-\sqrt{\sin\frac{x}{2}})} =\frac{\sqrt{2\sin \frac{x}{2}}}{\sqrt{\cos \frac{x}{2}+ \sin \frac{x}{2}}-\sqrt{\sin\frac{x}{2}}} $

แต่พอ take limit กลับได้คำตอบไม่เหมือนวิธีแรก ลองมาจับผิดดูนะครับว่าบรรทัดไหนมีปัญหา

[t.B.]

เพราะว่า x เข้าใกล้พายด้านบวก ดังนั้น sin x < 0 เลยดึงออกนอกรูทไม่ได้ ถูกไหมครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

เพราะว่า x เข้าใกล้พายด้านบวก ดังนั้น sin x < 0 เลยดึงออกนอกรูทไม่ได้ ถูกไหมครับ

ใช่แล้วครับ

ผิดตั้งแต่ดึง square root ออก ในบรรทัดแรก

ที่เอาประเด็นนี้มาพูด เพราะว่า ปกติ การ take limit ใน ม.ปลาย เราก็นิยม conjugate แล้วให้มันตัดกัน จนลืมคิดไปว่า อาจจะพลาดเรื่องเล็กๆน้อยๆไป