โจทย์ยากๆๆ

[Julian]

ไม่ค่อยยากมากแต่คิดให้ลึกเอาไว้นะครับ

$1.ถ้า$ $ x^4 + x^3 + x^2 + x +1 เป็นกำลังสองสมบูรณ์และ x เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว จงหาค่า A จากสมการ xA + 3x = 18 $

$2.จงพิสูจน์ว่ารัศมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยมคือ \frac{2พท. สามเหลี่ยม}{ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม} $

$3.จงหาเลขโดดสองหลักสุดท้ายของ2^{2002}$

$4.จงพิสูจน์ว่าเป็น\sqrt{2} จำนวนอตรรกยะ $

$5.จงหาคำตอบของระบบสมการ$

$x+y^2+z^3=3$
$y+z^2+x^3=3$
$z+x^2+y^3=3$

$และพิสูจน์ว่าคำตอบของระบบสมการมีเพียงคำตอบเดียว$

$6.จำนวนเต็มบวก 2000 หลักที่ทุกหลักเป็นเลข 9 หารด้วย 1001 เหลือเศษเท่าไร$

$7.จงพิสูจน์ว่า \left(\,\right. 1 - \frac{2}{2\cdot 3} \left.\,\right) \left(\,\right. 1 - \frac{2}{3\cdot 4} \left.\,\right) \left(\,\right. 1 - \frac{2}{4\cdot 5} \left.\,\right)... \left(\,\right. 1 - \frac{2}{n+1\cdot n+2} \left.\,\right) = \frac{n+3}{3\left(\,\right. n+1\left.\,\right)} $

$8.( ข้อที่ยากที่สุดนะครับ ) กำหนด n เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า n มีจำนวนเต็มบวกที่สามารถ หาร 5n ลงตัวอยู่ 24 ตัว$
$และ 7n มีจำนวนเต็มบวกที่สามารถหาร 7n ลงตัวอยู่ 25 ตัว $

$จงหาว่ามีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่สามารถหาร n^2 ได้ลงตัว$

อย่าใช้ความรู้เกินหลักสูตรนะครับ แต่จะมีบางข้อที่ใช้หลักการคิดที่เกินหลักสูตรไปนะครับ เช่น ข้อ8. เป็นต้น

[Puriwatt]

ข้อ 1. กำหนดให้ $x^4 + x^3 + x^2 + x +1$ = $m^2$ โดยที่ x และ m เป็นจำนวนเต็มบวก

จะได้ว่า $x^4 + x^3 + x^2 + x$ = $m^2-1$ แสดงว่า L.S. สามารถแยกตัวประกอบเป็น (m+1) และ (m-1) ได้
** ตัวประกอบจะมีค่าพอๆกัน(ต่างกันอยู่แค่ 2) และกรณีที่ x > 1 เราจะพบว่า $x^2$ >> x ด้วยครับ **

ดังนั้นจัดรูปใหม่ได้ ($m$+1)$\cdot $($m$-1) = $(x^2+x)\cdot (x^2+1)$ = ($(x^2+2)$ +(x-2) )$\cdot $($(x^2+2)$-1)

เมื่อเทียบรูปกันจะได้ว่า (x-2) = 1 ได้ x = 3 และ $m$ = $(x^2+2)$ = 11

แทนค่า x = 3 ลงในสมการ $xA + 3x = 18$ ได้ A = 3 ครับ

[Puriwatt]

ข้อ 2. จงพิสูจน์ว่ารัศมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยมคือ $\frac{2พท. สามเหลี่ยม}{ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม} $

ข้อนี้ลองดูรูปข้างล่างก็แล้วกันครับ (สิบปากว่าไม่เท่าตาเห็น)

[กรza_ba_yo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

ข้อ 1. กำหนดให้ $x^4 + x^3 + x^2 + x +1$ = $m^2$ โดยที่ x และ m เป็นจำนวนเต็มบวก

จะได้ว่า $x^4 + x^3 + x^2 + x$ = $m^2-1$ แสดงว่า L.S. สามารถแยกตัวประกอบเป็น (m+1) และ (m-1) ได้
** ตัวประกอบจะมีค่าพอๆกัน(ต่างกันอยู่แค่ 2) และกรณีที่ x > 1 เราจะพบว่า $x^2$ >> x ด้วยครับ **

ดังนั้นจัดรูปใหม่ได้ ($m$+1)$\cdot $($m$-1) = $(x^2+x)\cdot (x^2+1)$ = ($(x^2+2)$ +(x-2) )$\cdot $($(x^2+2)$-1)

เมื่อเทียบรูปกันจะได้ว่า (x-2) = 1 ได้ x = 3 และ $m$ = $(x^2+2)$ = 11

แทนค่า x = 3 ลงในสมการ $xA + 3x = 18$ ได้ A = 3 ครับ

เออ
ดังนั้นจัดรูปใหม่ได้ ($m$+1)$\cdot $($m$-1) = $(x^2+x)\cdot (x^2+1)$ = ($(x^2+2)$ +(x-2) )$\cdot $($(x^2+2)$-1)

เมื่อเทียบรูปกันจะได้ว่า (x-2) = 1 ได้ x = 3 และ $m$ = $(x^2+2)$ = 11


ช่วยอธิบายตรงนี้ให้ละเอียดกว่านี้หน่อยได้ไหมคับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กรza_ba_yo

เออ
ดังนั้นจัดรูปใหม่ได้ ($m$+1)$\cdot $($m$-1) = $(x^2+x)\cdot (x^2+1)$ = ($(x^2+2)$ +(x-2) )$\cdot $($(x^2+2)$-1)

เมื่อเทียบรูปกันจะได้ว่า (x-2) = 1 ได้ x = 3 และ $m$ = $(x^2+2)$ = 11
ช่วยอธิบายตรงนี้ให้ละเอียดกว่านี้หน่อยได้ไหมคับ

ดูที่ L.H.ก่อนนะครับ ($m$+1)$\cdot $($m$-1) เป็นรูปตัวประกอบ 2 ตัว คูณกัน
และ ตัวประกอบทั้งสองมีค่าพอๆกัน คือ มีค่าเป็น $m \pm 1$ (แตกต่างกันแค่ 2 ครับ)

ผมเลยจัดการแยกตัวประกอบด้านR.H.ให้มีลักษณะคล้ายๆกัน คือ เป็น $(x^2+x)\cdot (x^2+1)$
เพราะว่ากรณีนี้ x, m เป็นจำนวนเต็มบวก ทำให้แยกตัวประกอบได้แน่ๆ และ $(x^2+x) \approx (x^2+1)$ ครับ

และเนื่องจาก x > 1 ดังนั้นเราอาจจะให้ $(x^2+x) - (x^2+1)$ = 2 ก็ได้ x = 3 เหมือนกันครับ

** วิธีนี้อาจจะลูกทุ่งไปหน่อย เพราะไม่อยากจะคิดให้ซับซ้อนมากเกินไปครับ **

[Julian]

ข้อต่อไปนะครับ

$จงหาเลขโดด สองหลักสุดท้ายของ 2^{2002} $

อย่าลิมว่า อย่าใช้ความรู้เกินหลักสูตรนะครับ

[Puriwatt]

โจทย์ข้อนี้สามารถเขียนได้ใหม่เป็น $ \dfrac{ 2^{2002}}{100} $ มีเศษเท่าไร ?

ดังนั้น เลขโดดสองหลักสุดท้ายของ $2^{2002}$ ก็คือ 04 ขอรับ

ผมใช้ความรู้แบบมดปลวกอะครับ ถ้าสนใจก็ลองศึกษาดูได้ที่ กระทู้นี้ครับ

[t.B.]

แหม่ ผมชอบจริงๆครับไอใช้ความรู้แบบมดปลวกเนี่ย

[Julian]

แหม่ๆๆ เก่งจังเลยนะครับคุณ Puriwatt

อีก 2 ข้อครับไล่จาก ยากน้อยหายากปานกลางนะครับ

$จงพิสูจน์ว่า \sqrt{2}เป็นจำนวนอตรรกยะ$

$จงหาคำตอบของระบบสมการ $

$x + y^2 + z^3 = 3$
$y + z^2 + x^3 = 3$
$z + x^2 + y^3 = 3$

$และพิสูจน์ว่าคำตอบของระบบสมการมีเพียงคำตอบเดียว$

$ขอเน้นตรงที่อย่าใช้ความรู้เกินหลักสูตรนะครับ!!!!!!$


ทั้ง 2 ข้อไม่จำเป็นต้องใช้ความรู้เกินหลักสูตรดังนั้นก็ควรใช้ความรู้ปกติแบบม.ต้นนะครับ

[กรza_ba_yo]

หุหุ
พิสูจน์เหรอคับ

[t.B.]

คำถามแรกลองพิสูจน์แบบ Contradiction โดยสมมติให้เป็นตรรกยะ สุดท้ายจะได้ข้อขัดแย้ง
ส่วนอีกคำถามเนื่องจากสมการถ้่่่า x,y,z$\in \mathbb{R} ^+$ ก็ได้ว่า x=y=z=1 เป็นคำตอบเดียวของสมการแต่ถ้า ยูนิเวอสไม่ใช่จำนวนจริงบวกก็ไม่แน่ใจเหมือนกันครับว่ามีคำตอบเดียวรึเปล่า

[จอมกระบี่ผู้อ่อนหัด]

ใครก็ได้ช่วยผมที
จำนวนเต็มบวก ตั้งแต่1-5555 มี 0 ทั้งหมดกี่ตัว (ขอวิธีทำด้วยครับ ผมคิดไม่เป็นอะครับ ถ้ามีสูตร พิมพ์มาด้วยนะครับ ขอบคุณครับ)

[Julian]

ที่ถามมานะครับ

ข้อนี้เป็นข้อสอบเพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น

สามารถไปค้นหาคำตอบได้ที่กระทู้นี้ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3498

วิธีทำข้อนี้อยู่ใน คห 34 นะครับ

[[SIL]]

พี่ Puriwatt ข้อ 3 ผมได้ 44 อ่ะครับไม่รู้ผิดตรงไหนหรือเปล่าครับ
$2^{2002}$ เท่ากับ
$=4(1000+20+4)^{200}$
$=4(100a+4^{200})$
$=4(100a+(1000+20+4)^{40})$
$=4(100b+4^{40})$
$=4(100b+(1000+20+4)^8)$
$=4(100c+4^8)$
$=100d+4^9$
$=100d+(1000+24)4^4$
$=100d+(1000+24)(200+56)$
$=100e+(24)(56)$
$=100f+44$

[LightLucifer]

มาแล้วครับ ทั้ง คุณ SIL และคุณ Puriwat
ผมรู้แล้วว่าใครถูก
คุณ Puriwat ถูกครับ ผมลองใช้ microsoft math ตัวเลขออกมาขนาดที่เอามาโพสไห้ไม่ได้ครับ แต่ที่ถูกจริงๆคือ 04 เคิ้บบบบบ