n! เลขสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0

[[SIL]]

ก่อนอื่นต้องขอขอบคุณ คุณ เจ็ดเดือน เป็นอย่างมากครับที่ทำให้ผมคิดวิธีการ เลขสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 ของ 2007! ออก
แต่ว่าวิธีการของผมนี้ ไม่มีการใช้ความรู้สูงๆ อย่างคอนกรูเอนซ์ มันถูกต้องอย่างที่คุณ เจ็ดเดือนบอก เราไม่จำเป็นต้องใช้ความรู้เยอะก็สามารถแก้โจทย์ข้อนี้ได้ มาดูกันเลยดีกว่าครับ พล่ามมาเยอะแล้ว

1. ลองจากจุดเล็กๆอย่าง 30! ก่อนนะครับ ว่าเลขสุดท้ายที่ไม่ใช้ศูนย์คือเลขอะไร
$30! = (1\bullet2\bullet3\bullet4)\times(6\bullet7\bullet8\bullet9)\times...\times(26\bullet27\bullet28\bullet29)\times5^7\times[1\bullet2\bullet3\bullet4][6]$

2. ถึงตรงนี้สังเกตเลขลงท้ายดีๆมันจะเป็น (เอาแต่เลขลงท้ายมา)
3. $(1\bullet2\bullet3\bullet4)\times(6\bullet7\bullet8\bullet9)\times...\times(6\bullet7\bullet8\bullet9)\times5^7[1\bullet2\bullet3\bullet4][6]$

4. และข้อนี้สังเกตให้ลึกลงไปอีกจะพบว่าแต่ละวงเล็บเล็กๆนั้น (ของเก็บวงเล็บใหญ่ไว้ทีหลัง) จะมีเลขลงท้ายเป็น
$(4 ,6 ,4,...,6)$ แล้วคูณด้วย
$5^7[1\bullet2\bullet3\bullet4][6]$
**จะมีตรง{4}{6}.. อยู่ 4+(n-1)5 = 29 จะได้ n = 6

5. และมาถึงบรรทัดต้องคิดให้ลึกลงไปอีกซักนิด โดยให้มันคู่กัน (4 คู่ 6 ในวงเล็บปีกกา)
จากข้อ 4 จะมี {4}{6} อยู่ 3 ชุด (เพราะ n หมายถึงจำนวน {4} รวมกับ {6}) และลงท้ายชุดละ 4
*ถ้าจำนวนชุดเป็นเลขคู่ จะลงท้ายด้วย 6 ถ้าเป็นเลขคี่จะลงท้ายด้วย 4

6. จากข้อ 4 เราจะได้วงเล็บเล็กลงท้ายด้วย 6 นะครับ พอมาดูวงเล็บใหญ่คราวนี้จะมี $[1\bullet2\bullet3\bullet4][6]$ วงเล็บที่มีสมาชิกครบคือ(1 ,2 ,3 ,4) ลงท้ายคือ 6 แน่นอนตามที่เขียนไว้ในข้อ 4 และให้วงเล็บใหญ่ที่สมาชิกไม่ครบว่าเศษเหลือ แต่อย่าลืมว่า มันยังมี $5^7$ขั้นอยู่ระหว่างกลาง ให้ บริจาค 2 ไป 1 ตัวซึ่งมันจะช่วยให้
**$5^7$ มันจะกลายเป็นลงท้ายด้วย 0 แทนที่จะ เป็น 5


7. สรุป เอาเลขหลักสุดท้ายแต่ละอันมาวางจะได้
$(4)(5^7)[1\bullet2\bullet3\bullet4][6]$ บริจาค 2 ไปตัวนึงนะครับอย่าลืม สุดท้ายจะได้
$4\times4\times3 = 48$
ดังนั้น 30! เลขตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 คือ 8 ครับ

[[SIL]]

กระทู้นี้ต้องแก้ไขหลายครั้งหน่อยนะครับ ค่อนข้างจะมึนหัวมากๆ เพราะยังไม่ได้นอนเลย
คอนเฟริ์มจาก http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=5474 เรปที่ 7 โดยพี่ Onasdi ครับ
ลองใช้กับตัวอื่นๆอย่าง 1000000! ก็หาเลขสุดท้ายไม่ยากแล้วล่ะครับ แต่ 1!+2!+3!+...+n! นี่ยังคงเป็นปัญหาครับ ยังไม่ได้คิด
เดี๋ยวจะเอา 2007! ที่คุณ เจ็ดเดือน ถามผมมาแสดงตามวิธีที่ผมเขียนไว้ให้ดูนะครับ ตอนนี้ขอไปอาบน้ำแต่งตัวไปเรียนพิเศษก่อนนะครับ

[Onasdi]

ผมคิดว่าว่าวิธียังไม่ถูกนะครับ คือเราต้องใช้ 2 หกตัวในการทำลาย 5⁶ นะครับ (และเหมือนว่าจริงๆแล้วต้องเป็น 5⁷ ลองเช็คดูนะ)

ซึ่งการที่เราต้องเอา 2 ออกมาหลายตัวอย่างนี้ ทำให้ผมไม่แน่ในว่าัเราจะขยายไปในกรณีทั่วไปได้ง่ายๆรึเปล่า

ลองคิดต่อดูนะครับว่าขยายไปกรณีทั่วไปยังไง เอาใจช่วยครับ แล้วจะมาช่วยคิด

[[SIL]]

ยังไงก็ช่วยหน่อยนะครับพี่วันนี้ผมไม่สบาย

[[SIL]]

ความจริงก่อนหน้านี้ก็มี 2 ให้ใช้อีกนับไม่ถ้วนนะครับอย่าลืม TT เวรกรรม มาถูกทางหรือปล่าวเนี่ย เดี๋ยวผมจะลองหา เลขสุดท้ายของ 40! ดูนะครับ

[[SIL]]

คิดออกแล้วครับ ที่พลีชีพ 2 แค่ตัวเดียวเพื่อนทำให้ $5^k$โดยที่kเป็นจำนวนเต็มบวก นั้นมีหลักหน่วยเป็นเลข 0 ครับ ไม่เชื่อลองใช้ดูกับตัวอื่นๆได้ครับ

[Onasdi]

ใช่ครับ มันทำให้มีหลักหน่วยเป็นศูนย์ แต่แค่นั้นยังไม่พอครับ เพราะว่าเมื่อเกิดศูนย์ขึ้นมาเราก็ต้องพิจารณาหลักต่อไปของ 5⁶ x 2 ซึ่งก็เป็น 5 อีก

[[SIL]]

อ๊ากหัวระเบิดใจสลาย คิดมาผิดหมดเลยหรอครับเนี่ย TT (เฮ่! เดี๋ยวนะครับก็เราสนใจแต่หลักในไม่ใช่หรอ ตรงนี้มั้งที่ผมเข้าใจผิดทำให้คิดผิด)

[เจ็ดเดือน]

คำถาม 30! มีเลขท้ายก่อนหน้าเลข 0 คืออะไร
คำตอบและวิธีคิด
$\begin{array}{rcl}
\frac{30!}{10^7}
&=& \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots 30}{5^7\times 2^7}\\

&=& \frac{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)\times(6\cdot 7\cdot 8\cdot 9)\times\cdots\times(26\cdot 27\cdot 28\cdot 29)\times(5\cdot 10\cdot 15\cdots 30)}{5^7\times 2^7}\\

&=& \frac{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)\times(6\cdot 7\cdot 8\cdot 9)\times\cdots\times(26\cdot 27\cdot 28\cdot 29)\times 5^6\times(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6)}{5^7\times 2^7}\\

&=& \frac{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)\times(6\cdot 7\cdot 8\cdot 9)\times\cdots\times(26\cdot 27\cdot 28\cdot 29)\times 5^7\times(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)\times 6}{5^7\times 2^7}\\

&=& \frac{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)\times(6\cdot 7\cdot 8\cdot 9)\times\cdots\times(26\cdot 27\cdot 28\cdot 29)\times(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)\times 6}{2^7}\\

&=& \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{2}\times\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{2}\times\cdots\times\frac{26\cdot 27\cdot 28\cdot 29}{2}\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{2}\times 6\\

&=& 6\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}{2}\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{2}\times\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{2}\times\cdots\times\frac{26\cdot 27\cdot 28 \cdot 29}{2}\\

&=& 6\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}{2}\times\prod_{i=0}^5\frac{(5i+1)(5i+2)(5i+3)(5i+4)}{2}\\

&=& 6\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}{2}\times\prod_{i=0}^5\frac{
(5i)^4+(1+2+3+4)(5i)^3+(2+3+4+6+8+12)(5i)^2+(6+8+12+24)(5i)+(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}{2}\\

&=& 6\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}{2}\times\prod_{i=0}^5\frac{
(5i)^4+10(5i)^3+35(5i)^2+50(5i)+24}{2}\\

&=& 6\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}{2}\times\prod_{i=0}^5\Big(
\frac{(5i)^4}{2}+5(5i)^3+\frac{35(5i)^2}{2}+25(5i)+12\Big)\\

\frac{30!}{10^7}
&\equiv& 6\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}{2}\times\prod_{i=0}^5 \Big(
\frac{(5i)^4}{2}+5(5i)^3+\frac{35(5i)^2}{2}+25(5i)+12\Big)\pmod 5\\

&& เอา \ term \ ที่ \ 5 \ หารลงตัวออก \\

&\equiv& 6\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}{2}\times\prod_{i=0}^5 \Big(
\frac{(5i)^4}{2}+\frac{35(5i)^2}{2}+12\Big)\pmod 5\\

&\equiv& 6\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}{2}\times\prod_{i=0}^5\Big(
\frac{(5i)^4+35(5i)^2}{2}+12\Big)\pmod 5\\

&& (5i)^4+35(5i)^2\ เป็นเลขคู่เสมอ\ ไม่ว่า\ i\ จะเป็นเลขคู่หรือเลขคี่\\
&& ดังนั้น\ \frac{(5i)^4+35(5i)^2}{2}\ จึงตัดทิ้งได้\ เพราะ\ 5\ หารลงตัว\\

&\equiv& 6\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}{2}\times\prod_{i=0}^5 12 \pmod 5\\
&\equiv& 6\times\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}{2}\times 12^6\pmod 5\\
&\equiv& 6\times 12^7\pmod 5\\
&\equiv& (5+1)\times (10+2)^7\pmod 5\\
&\equiv& 1\times 2^7\pmod 5\\
&\equiv& 3\pmod 5
\end{array}$
สรุปคือ 10 หาร $\frac{30!}{10^7}$ เหลือเศษ 8 เพราะ $\frac{30!}{10^7}$ หารด้วย 5 เหลือเศษ 3 และหารด้วย 2 ลงตัว

ถ้านำไปหา 2007! ที่ตัดเลขท้ายที่เป็น 0 ออกหมดแล้วจะได้เลขท้ายคือเลขอะไร
ต้องเริ่มจากการหาว่ามี 0 ลงท้ายกี่ตัวก่อน จากตัวอย่าง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เจ็ดเดือน

$\cdots$
วิธีคิด คือ 2007! = 1 x 2 x 3 x ... x 2007
ถ้านำมาดูเฉพาะตัวที่ 5 หารลงตัว ได้แก่ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ..., 2005
ซึ่งมี 401 ตัว เพราะ 2007/5 = 401.xx
ดังนั้น แปลว่า สามารถนำ 5 จำนวน 401 ตัวไปหารได้
ถ้าดูผลหาร จะได้ = 1, 2, 3, ..., 401
ในผลหารนี้ นำมาหารด้วย 5 อีก
โดยนำมาดูเฉพาะตัวที่ 5 หารลงตัว ได้แก่ 5, 10, 15, ..., 400
ซึ่งมี 80 ตัว เพราะ 401/5 = 80.xx
ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้
$\cdots$

จากนั้น จึงมาหาว่า เลขถัดจาก 0 เป็นเลขอะไร ดังนี้
$\begin{array}{rcl}
\frac{2007!}{10^{500}} &\equiv& (2006\cdot 2007)\cdot 401\cdot 16\cdot(1\cdot 2\cdot 3)\cdot 2^{500}\pmod 5\\

\frac{2007!}{10^{500}}
&\equiv& (1\cdot 2)\cdot 1\cdot 1\cdot(1\cdot 2\cdot 3)\cdot 2^{500}\pmod 5\\
&\equiv& 2\cdot 2^{500}\pmod 5\\
&\equiv& 2\cdot 16^{125}\pmod 5\\
&\equiv& 2\cdot (15+1)^{125}\pmod 5\\
&\equiv& 2\cdot 1^{125}\pmod 5\\
&\equiv& 2\pmod 5
\end{array}$
คำตอบก็คือ 2007! มีเลขท้ายที่ไม่ใช่ 0 คือ 2
(เพราะ 2007! ที่ตัด 0 ลงท้ายออกหมดแล้ว ยังเป็นเลขคู่)

ถ้าเป็น $100! \Rightarrow 2^{20+4}\times(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4) \equiv 2^{25} \equiv 2\pmod 5$
จึงตอบว่า 100! ลงท้ายด้วย 0 จำนวน 24 ตัว และเลขถัดจาก 0 คือ 2

สิ่งสำคัญไม่ใช่คำตอบ และไม่ใช่สูตรที่ทำให้ได้คำตอบ
แต่เป็นวิธีที่ทำให้ได้สูตรหรือคำตอบออกมา
ถ้าจำแต่สูตร วันหน้ามีปัญหาใหม่ก็ต้องไปหาคนคิดสูตรใหม่ให้อีก
ถ้าเข้าใจหลักการ วันหน้าก็ใช้หลักการแก้ปัญหาได้หมด
และถ้าเข้าใจหลักการลึกซึ้ง สุดท้ายก็คิดปัญหาใหม่ขึ้นเองได้
และสามารถรู้ได้ว่า ปัญหาไหนสามารถหาคำตอบได้หรือไม่ได้ ด้วยหลักการที่มี

$7\star 7\ \bigcirc$

[[SIL]]

ลองทำ 200! ดูนะครับ
200! มี 5 อยู่ 40+8+1 = 49 ตัว
จัดรูปจำนวนเป็น
$(1\bullet2\bullet3\bullet4)\times(6\bullet7\bullet8\bullet9)\times...\times(196\bullet197\bullet198\bullet199)\times5^{49}\time s[1\bullet2\bullet3\bullet4]\times[6\bullet7\bullet8\bullet9]\times...\times[46\bullet47\bullet48\bullet49]$

หากลุ่มวงเล็บเล็ก
กลุ่มวงเล็บเล็กมีเลขลงท้าย {4}{6} เป็น 199 = 4+(n-1)5 , n = 40 ตัว จับ {4}{6} ได้ 20 คู่ จำนวนคู่เป็นเลขคู่จึงลงท้ายด้วย 6
หากลุ่มวงเล็บใหญ่
กลุ่มวงเล็บใหญ่มีเลขลงท้าย {4}{6} เป็น 49 = 4+(n-1)5 , n = 10 ตัว จับ {4}{6} ได้ 5 คู่ จำนวนคู่เป็นเลขคี่จึงลงท้ายด้วย 4
เอาทั้งหมดมาจัดเลขใหม่โดยสนใจแต่ตัวลงท้ายได้เป็น $6\times5\times4 = 2$

ดังนั้น 200! ลงท้ายด้วย 2

ลองทำ 2007! ดูนะครับ
2007! มี 5 อยู่ 401+80+16+3 = 500 ตัว
จัดรูปจำนวนเป็น
$(1\bullet2\bullet3\bullet4)\times(6\bullet7\bullet8\bullet9)\times...\times(2001\bullet2002\bullet2003\bullet2004)\times(2006\b ullet2007)\times 5^{500}\times[1\bullet2\bullet3\bullet4]\times[6\bullet7\bullet8\bullet9]\times...\times[396\bullet397\bullet398\bullet399]\times[401]$
กลุ่มวงเล็บเล็กมีเลขลงท้าย {4}{6} เป็น 2004 = 4+(n-1)5 , n = 401 ตัว จับ {4}{6} ได้ 200 คู่ จำนวนคู่เป็นเลขคู่จึงลงท้ายด้วย 6 แต่ยังเหลืออีก {4}{6} 1 คู่ที่หาตัวจับไม่ได้ เลขลงท้ายเลยเป็น 4 แต่ยังเหลือ ลงท้ายด้วย 6 และ 7 อีก ดังนั้นวงเล็บเล็กจะลงท้ายด้วย 6\times7\times4 ได้เลขลงท้าย = 8
กลุ่มวงเล็บใหญ่มีเลขลงท้าย {4}{6} เป็น 399 = 4+(n-1)5 , n = 80 ตัว จับ {4}{6} ได้ 40 คู่ จำนวนคู่เป็นเลขคู่จึงลงท้ายด้วย 6 แต่ยังเหลือลงท้ายด้วย 1 ไม่ต้องคิดก็ได้
ดังนั้นเอาเลขลงท้ายมารวมกันเป็น $8\times6\times5 = 4$ ผิดขั้นตอนไหนอีกล่ะเนี่ย

[Onasdi]

ตรงนี้ไม่ถูกครับ ที่บอกว่าเลขสามตัวลงท้ายด้วย 6,5,4 แล้วเอามาคูณกันจะลงท้ายด้วย 24
เพราะว่าหลักสิบมีผลด้วย เช่น 16*5*4 = 360
ปัญหามันอยู่ที่ 5 ครับ ถ้าเรากำจัด 5 ออกไปได้ พอเอาหลักหน่อยมาคูณกันทีนี้ก็จะไม่ได้ 0 แล้วครับ
วิธีกำจัด 5 ก็ต้องเอา 2 มาคูณครับ


ขออธิบายตามแนวคิดของคุณเจ็ดเดือนครับ
สำหรับ 200! เราแบ่งออกเป็น (1*2*3*4)*(6*7*8*9)*...*(196*197*198*199) * (5*10*15*...*200)
= (1*2*3*4)*(6*7*8*9)*...*(196*197*198*199) * 5⁴⁰(40!)
ต่อไปเราก็ดึง 2 ออกมาจากแต่ละวงเล็บ ซึ่งมีอยู่ 40 วงเล็บพอดี
$\displaystyle{=\Big(\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{2}\Big)\Big(\frac{6\cdot7\cdot8\cdot9}{2}\Big)\dots\Big(\frac{196\cdot197\cdot19 8\cdot199}{2}\Big) \times 2^{40}\cdot5^{40}\cdot40!}$

ต่ิอไปเราพบว่าแต่ละวงเล็บลงท้ายด้วย 2 (ลองพิสูจน์นะครับ)
จึงได้ว่า เลขท้ายที่ไม่ใช่ 0 ของ 200! = เลขท้ายที่ไม่ใช่ 0 ของ (2x2x...x2) x 2⁴⁰ x 5⁴⁰ 40! = เลขท้ายที่ไม่ใช่ 0 ของ 2⁴⁰ x 40! (ตัด 10⁴⁰ ออกได้)
จึงสรุปได้ว่า เลขท้ายที่ไม่ใช่ 0 ของ n! = เลขท้ายที่ไม่ใช่ 0 ของ 2^n/5 x (n/5)! ถ้า 5 หาร n ลงตัว

แล้วถ้า 5 ไม่หาร n หละ เราก็สามารถทำได้เหมือนกัน โดยการดัดแปลงข้างบนนิดก็จะได้ว่า
เลขท้ายที่ไม่ใช่ 0 ของ $n!$ = เลขท้ายที่ไม่ใช่ 0 ของ $\displaystyle{2^{m}\times m! \times (m+1)(m+2)\dots(n)}$ ถ้า $m=\lfloor\frac{n}{5}\rfloor$

ดังนั้น 200!
-> 2⁴⁰ x 40!
-> 2⁴⁰ x 2⁸ x 8!
-> 2⁴⁰ x 2⁸ x 2¹ x (6x7x8) x 1!
-> 2⁴⁹ x (6x7x8)
-> 2 x 6 (เพราะเลขท้ายของ 2^k เป็นลูป 2,4,8,6)
-> 2

[เจ็ดเดือน]

200/5 = 40 เศษ 0
40/5 = 8 เศษ 0
8/5 = 1 เศษ 3
1/5 = 0 เศษ 1

$\begin{array}{rcl}
\frac{200!}{10^{40+8+1+0}}
&\equiv& 2^{40+8+1+0}\times 0!\times 0!\times 3!\times 1!\pmod 5 \\
&\equiv& 2^{48}\times 2 \times 6 \pmod 5 \\
&\equiv& (2^4)^{16}\times 12 \pmod 5 \\
&\equiv& 16^{16}\times (10+2) \pmod 5 \\
&\equiv& (15+1)^{16}\times 2 \pmod 5 \\
&\equiv& 2 \pmod 5
\end{array}$
คำตอบคือ 2

2007/5 = 401 เศษ 2
401/5 = 80 เศษ 1
80/5 = 16 เศษ 0
16/5 = 3 เศษ 1
3/5 = 0 เศษ 3

$\begin{array}{rcl}
\frac{2007!}{10^{401+80+16+3+0}} &\equiv& 2^{401+80+16+3+0} \times 2! \cdot 1! \cdot 0! \cdot 1! \cdot 3!\pmod 5\\
&\equiv& 2^{500} \times 12 \pmod 5 \\
&\equiv& 16^{125} \times 12 \pmod 5 \\
&\equiv& (15+1)^{125} \times 12 \pmod 5 \\
&\equiv& 12 \pmod 5 \\
&\equiv& 2 \pmod 5
\end{array}$
คำตอบคือ 2

ถ้าเอาวิธีแบบไม่ลัด
$\begin{array}{rcl}
\frac{2007!}{10^{401+80+16+3}}
&\equiv& \frac{(1\cdots 4)_1\cdots(2001\cdots 2004)_{401}\times 5^{401}\cdot(1\cdots 401)\times(2006\cdot 2007)}{5^{401+80+16+3}\times 2^{401+80+16+3}}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 4)_1\cdots (2001\cdots 2004)_{401}\times(1\cdots 401)\times(2006\cdot 2007)}{5^{80+16+3}\times 2^{401+80+16+3}}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 401)\times(2006\cdot 2007)\times(1\cdots 4)_1\cdots (2001\cdots 2004)_{401}}{5^{80+16+3}\times 2^{401+80+16+3}}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 401)\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{400}\Big( (5i+1)\cdots(5i+4)\Big)}{5^{80+16+3}\times 2^{401+80+16+3}}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 401)\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{400}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}}{5^{80+16+3}\times 2^{80+16+3}}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 401)}{5^{80+16+3}\times 2^{80+16+3}}\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{400}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 4)_1\cdots(396\cdots 399)_{80}\times 5^{80}\cdot(1\cdots 80)\times 401}{5^{80+16+3}\times 2^{80+16+3}}\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{400}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 4)_1\cdots(396\cdots 399)_{80}\times(1\cdots 80)\times 401}{5^{16+3}\times 2^{80+16+3}}\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{400}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 80)\times 401\times\prod_{i=0}^{79}\Big((5i+1)\cdots(5i+4)\Big)}{5^{16+3}\times 2^{80+16+3}}\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{400}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 80)\times 401\times\prod_{i=0}^{79}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}}{5^{16+3}\times 2^{16+3}}\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{400}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 80)}{5^{16+3}\times 2^{16+3}}\times 401\times\prod_{i=0}^{79}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{400}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\pmod 5\\

&\equiv& \frac{(1\cdots 16)}{5^{3}\times 2^{3}}\times\prod_{i=0}^{15}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\times 401\times\prod_{i=0}^{79}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{400}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\pmod 5\\

&\equiv& (1\cdots 3)\times\prod_{i=0}^{2}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\times 16\times\prod_{i=0}^{15}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\times 401\times\prod_{i=0}^{79}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{400}\frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\pmod 5\\

&\equiv& (1\cdots 3)\times 16\times 401\times(2006\cdot 2007)\times\prod_{i=0}^{2} \frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\times\prod_{i=0}^{15} \frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\times\prod_{i=0}^{79} \frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\times\prod_{i=0}^{400} \frac{(5i+1)\cdots(5i+4)}{2}\pmod 5\\

&\equiv& (1\cdots 3)\times 16\times 401\times(2006\cdot 2007)\times 2^3\times 2^{16}\times 2^{80}\times 2^{401}\pmod 5\\

&\equiv& (1\cdots 3)\times 16\times 401\times(2006\cdot 2007)\times 2^{401+80+16+3}\pmod 5\\

&\equiv& 3!\times 1!\times 1!\times 2!\times 2^{401+80+16+3}\pmod 5\\
\end{array}$

ถ้าจะเขียนให้สอดคล้องกับการหารด้วย 5 ไปเรื่อยๆก็จะได้ดังนี้
2007/5 = 401 เศษ 2
401/5 = 80 เศษ 1
80/5 = 16 เศษ 0
16/5 = 3 เศษ 1
3/5 = 0 เศษ 3
จึงได้สูตรเป็น
$\frac{2007!}{10^{401+80+16+3}} \equiv 2^{401}\cdot 2! \times 2^{80}\cdot 1! \times 2^{16}\cdot 0! \times 2^3\cdot 1! \times 2^0\cdot 3! \pmod 5$
$\equiv 2^{500} \times(2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 6)\pmod 5$
$\equiv 2^{500} \times 2 \pmod 5$
$\equiv 16^{125} \times 2 \pmod 5$
$\equiv 2 \pmod 5$

ทดสอบ 123! ลงท้ายด้วยตัวถัดจาก 0 คืออะไร
123/5 = 24 r 3
24/5 = 4 r 4
4/5 = 0 r 4
ดังนั้นจะได้ $2^{28}\cdot 4! \cdot 4! \cdot 3! \equiv 1 \pmod 5$
คำตอบจึงเป็น 6
(เพราะถ้าได้เป็นเลขคี่ ต้องบวกอีก 5 จะได้เป็นเลขคู่)

ทบ.เจ็ดดาวเจ็ดเดือน
$7 \star\ 7\ \bigcirc$