ช่วยแก้โจทย์อุปนัยทางคณิตศาสตร์

[nida2552]

ช่วยแก้โจทย์ปัญหา นี้ ด้วยอุปนัยทางคณิตศาสตร์ พิสูจน์ให้ดูที เอาแบบละเอียดนิดนึงนะ ช่วยทีนะคับ

$1^2+2^2+3^2...+k^2 = \frac{k}{6}(k+1)(2k+1) ,n\geqslant 1$

[Lekkoksung]

ขั้น $(1)$ ให้ $P(n)$ แทนข้อความ $1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2 = \frac{n}{6}(n+1)(2n+1) ,\; n\geqslant 1$
จะแสดงว่า $P(1)$ เป็นจริง
$LHS.=1^2=1$ และ $RHS.=\frac{1}{6}(1+1)(2(1)+1)=1$ นั่นคือ $LHS.=RHS.$ ดังนั้น $P(1)$ เป็นจริง

ขั้น $(2)$ สมมติว่า $P(k)$ เป็นจริง นั่นคือ $1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2 = \frac{k}{6}(k+1)(2k+1) ,\; n\geqslant 1$
จะพิสูจน์ว่า $P(k+1)$ เป็นจริง นั่นคือจะพิสูจน์ว่า $1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2+(k+1)^2 = \frac{(k+1)}{6}(k+2)[2(k+1)+1] ,\;n\geqslant 1$

$$1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2 = \frac{k}{6}(k+1)(2k+1)$$
$$1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2+(k+1)^2 = \frac{k}{6}(k+1)(2k+1)+(k+1)^2$$
$$=\frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}=\frac{k}{6}(k+1)(2k+1)+(k+1)^2=\frac{(k+1)}{6}(k+2)[2(k+1)+1]$$
ดังนั้น $P(k+1)$ เป็นจริง

เพราะฉะนั้น $P(n)$ เป็นจริงโดยวิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์

บกพร่องตรงไหนก็ขอโทษครับ

[nida2552]

ขอบคุณนะคับบบบ
ถึงจะงงตอนท้ายนิดหน่อย