#1
|
||||
|
||||
อนุกรมอนันต์
อนุกรมอนันต์ของ arctan x หายังไงครับ
อย่าง f(x)=arctan x f'(x)=1/(1+x^2) ... จะจัดรูปยังไงก็ไม่เห็นจะอยู่ในรูปของอนุกรมได้เลยอ่ะครับ 03 สิงหาคม 2001 18:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Hell |
#2
|
|||
|
|||
จาก
1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... เมื่อ |x| < 1 จะได้ว่า 1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... ถ้ายังไม่แน่ใจก็ลองคิดกลับกันก็ได้ครับ โดยให้ S = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... นำ x^2 คูณ จะได้ (x^2)S = x^2 - x^4 + x^6 - x^8 +... นำมาบวกกัน จะได้ (1 + x^2)S = 1 ดังนั้น S = 1/(1 + x^2) |
#3
|
||||
|
||||
สงสัยจะเข้าใจที่ถามผิดแฮะ คือจะหาอนุกรมของ arctan x แบบ
f(x)=A0 + A1(x-c) + A2 (x-c)2 +... คือ จัดยังไงก็ติดส่วน (1+x2)n แล้วก็จัดรูปไม่ได้น่ครับ 06 สิงหาคม 2001 22:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Hell |
#4
|
||||
|
||||
จาก f(x) = tan-1 x , f(0) = 0
f'(x) = 1 / (1 + x2) , f'(0) = 1 ตรงจุดนี้จะพบว่า หากเราใช้ f'(x) = 1 / (1 + x2) ต่อไปจะทำให้การหาอนุพันธ์ ระดับลึกๆลงไป จัดรูปได้ลำบาก เราจะอาศัยอนุกรมอนันต์ มาช่วยให้การจัดรูปนี้ง่ายขึ้นดังนี้ 1 / (1 + x2) = Sฅn=0(-1)nx2n โดย |x| < 1 (แบบเดียวกับที่คุณ tunococ ได้ hint ให้แล้วนั่นแหละ ) จึงได้ f'(x) = Sฅn=0(-1)nx2n = 1 + Sฅn=1(-1)nx2n , f'(0) = 1 f''(x) = Sฅn=1(-1)n2n x2n - 1, f''(0) = 0 f'''(x) = Sฅn=1(-1)n2n(2n - 1) x2n - 2 = -2 + Sฅn=2(-1)n2n(2n - 1) x2n - 2, f'''(0) = - 2 f 4(x) = Sฅn=2(-1)n2n(2n - 1)(2n - 2) x2n - 3 , f 4(0) = 0 f 5(x) = Sฅn=2(-1)n2n(2n - 1)(2n - 2)(2n - 3) x2n - 4 = 24 + Sฅn=3(-1)n2n(2n - 1)(2n - 2)(2n - 3) x2n - 4, f 5(0) = 24 ................................................................................................................ f 2k(x) = Sฅn=k(-1)n2n(2n - 1)(2n - 2)...(2n - 2k + 2) x2n - 2k + 1 , f 2k(0) = 0 f 2k+1(x) = Sฅn=k(-1)n2n(2n - 1)(2n - 2)...(2n - 2k + 2)(2n - 2k + 1) x2n - 2k = (-1)k(2k)! + Sฅn=k+1(-1)n2n(2n - 1)(2n - 2)...(2n - 2k + 2)(2n - 2k + 1) x2n - 2k , f 2k+1(0) = (-1)k(2k)! \ tan-1 x = tan-1 0 + Sฅk=0(-1)k(2k)!x2k + 1/(2k + 1)! = Sฅk=0(-1)kx2k + 1/(2k + 1) = x - x3/3 + x5/5 - x7/7 + ... โดย |x| < 1
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 10 สิงหาคม 2001 07:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
|
|