สิรินธร 2555 บางข้อ

[OMG]

1. ให้จำนวนจริง x ที่ทำให้ $sin x + cos x + tan x+cosec x+ sec x + cot x = 8$ จงหาค่า $2sin2x$
2. กำหนดให้$ Z_{1},Z_{2},Z_{3},Z_{4},Z_{5}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนต่างกันทั้งหมด โดยขนาดของแต่ละตัวเท่ากับ 1 และ $ Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+Z_{4}+Z_{5} = 0 $จงหาส่วนจริงของ $\frac{Z_{1}+Z_{2}}{Z_{3}} + \frac{Z_{2}+Z_{3}}{Z_{4}} + \frac{Z_{3}+Z_{4}}{Z_{5}} + \frac{Z_{4}+Z_{5}}{Z_{1}} + \frac{Z_{5}+Z_{1}}{Z_{2}} $
3. ถ้า $ K = \left\{\ k\in R โดย \left|\ \frac{x^2+kx-1}{x^2-x+1} \right| < 2 ทุกจำนวนจริง x ,\right\}$ จงหาเซต K ตอบเป็นช่วง

please

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ OMG

1. ให้จำนวนจริง x ที่ทำให้ $\sin x + \cos x + \tan x+\csc x+ \sec x + \cot x = 8$ จงหาค่า $2\sin2x$

ถ้าคิดเลขไม่ผิดนะครับ

my_solution

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

2.ใช้วิธีการแทนค่าครับ
ขนาดเท่ากับ 1 และผลรวมทั้ง 5 จำนวนเป็น 0

ให้ทั้ง 5 จำนวนคือ

$Z_1=0$
$Z_2=\frac{3}{5} +\frac{4}{5} i$
$Z_3=\frac{-3}{5} +\frac{-4}{5} i $
$Z_4=\frac{4}{5} +\frac{3}{5} i$
$Z_5=\frac{-4}{5} +\frac{-3}{5} i$

ส่วนจริงของ $\frac{Z_{1}+Z_{2}}{Z_{3}} + \frac{Z_{2}+Z_{3}}{Z_{4}} + \frac{Z_{3}+Z_{4}}{Z_{5}} + \frac{Z_{4}+Z_{5}}{Z_{1}} + \frac{Z_{5}+Z_{1}}{Z_{2}} $

คือ

$\frac{Z_{2}}{Z_{3}} + \frac{Z_{3}+Z_{4}}{Z_{5}} + \frac{Z_{5}}{Z_{2}} $
$=-1-\frac{1}{4} -\frac{4}{3} = -\frac{31}{12}$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

3. ถ้า $ K = \left\{\ k\in R โดย \left|\ \frac{x^2+kx-1}{x^2-x+1} \right| < 2 ทุกจำนวนจริง x ,\right\}$ จงหาเซต K ตอบเป็นช่วง
$$-2<\frac{x^2+kx-1}{x^2-x+1} < 2$$
จะได้ $-2<\frac{x^2+kx-1}{x^2-x+1}$ และ $\frac{x^2+kx-1}{x^2-x+1} < 2$

เนื่องจาก $x^2-x+1=(x-\frac{1}{2} )^2+\frac{3}{4} >0$

พิจารณา $-2<\frac{x^2+kx-1}{x^2-x+1}$ (มีคำตอบเป็นจำนวนจริง)

$-2x^2+2x-2<x^2+kx-1$

$3x^2+(k-2)x+1>0$

$(\sqrt{3} x+1)^2+(-2\sqrt{3} +k-2)x>0$
$ (\sqrt{3} x-1)^2+(2\sqrt{3} +k-2)x>0$

ถ้า $x\geqslant 0 ;-2\sqrt{3} +k-2>0$
ถ้า $x<0 ; 2\sqrt{3} +k-2<0$

$k\in(-\infty ,2-2\sqrt{3} )U(2+2\sqrt{3} ,\infty )$

พิจารณา $\frac{x^2+kx-1}{x^2-x+1} <2$ (มีคำตอบเป็นจำนวนจริง)

$x^2+kx-1<2x^2-2x+2$

$x^2-(k+2)x+3>0$

$(x+\sqrt{3} )^2-(2\sqrt{3} +k+2)x>0$
$(x-\sqrt{3} )^2-(-2\sqrt{3} +k+2)x>0$
ถ้า $x\geqslant 0 ;2\sqrt{3} +k+2<0$
ถ้า $x<0 ; -2\sqrt{3} +k+2>0$

$k\in(-\infty ,-2-2\sqrt{3} )U(2-2\sqrt{3} ,\infty )$

นำคำตอบมา intersec กันจะได้

$k\in(-\infty ,-2-2\sqrt{3} )U(2+2\sqrt{3} ,\infty )$

(ไม่ค่อยมั่นใจครับ)

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

2.ใช้วิธีการแทนค่าครับ
ขนาดเท่ากับ 1 และผลรวมทั้ง 5 จำนวนเป็น 0

ให้ทั้ง 5 จำนวนคือ
Z1 = (1/2) + ((3^0.5)/2) i
Z2 = (1/2) - ((3^0.5)/2) i
Z3 = -1 + 0 i
Z4 = (3/5) + (4/5) i
Z5 = (-3/5) - (4/5) i

Z1 + Z2 = 1
Z2 + Z3 = (-1/2) - ((3^0.5)/2) i
Z3 + Z4 = (-2/5) + (4/5) i
Z4 + Z5 = 0
Z5 + Z1 = (-1/10) + [((5*(3^0.5))-8)/10] i

ส่วนจริงของ [(Z1+Z2)/Z3] + [(Z2+Z3)/Z4] + [(Z3+Z4)/Z5] + [(Z4+Z5)/Z1] + [(Z5+Z1)/Z2]
คือ -250/100 = -5/2 ตอบ

ไหงมันไม่เท่ากัน?? ผมผิดอีกละหรอ TT
อ่อ จริงด้วย 0 ขนาดไม่เป็น 1 T___T

[OMG]

ขอบคุณทุกท่านมากครับ มีแต่วิธีเจ๋งๆทั้งนั้นเลย

[Euler-Fermat]

2.

$ \left|Z_{1}\,\right|= \left|Z_{2}\,\right| = \left|Z_{3}\,\right|= \left|Z_{4}\,\right| = \left|Z_{5}\,\right| = 1$

ต้องการหาส่วนจริง ก็พิจารณา $Re(z) = \dfrac{z+\overline{z}}{2}$

$\dfrac{Z_{1}+Z_{2}}{Z_{3}} + \dfrac{Z_{2}+Z_{3}}{Z_{4}} + \dfrac{Z_{3}+Z_{4}}{Z_{5}} + \dfrac{Z_{4}+Z_{5}}{Z_{1}} + \dfrac{Z_{5}+Z_{1}}{Z_{2}}+ \dfrac{\overline{Z_{1}}+\overline{Z_{2}}}{\overline{Z_{3}}} + \dfrac{\overline{Z_{2}}+\overline{Z_{3}}}{\overline{Z_{4}}}+\dfrac{\overline{Z_{3}}+\overline{Z_{4}}}{\overline{Z_{5}}}
+\dfrac{\overline{Z_{4}}+\overline{Z_{5}}}{\overline{Z_{1}}}+\dfrac{\overline{Z_{5}}+\overline{Z_{1}}}{\overline{Z_{2}}}$

จับคู่ $\dfrac{Z_{1}+Z_{2}}{Z_{3}}+\dfrac{\overline{Z_{1}}+\overline{Z_{2}}}{\overline{Z_{3}}} = \dfrac{Z_1\overline{Z_3}+Z_2\overline{Z_3}+\overline{Z_1}Z_3+\overline{Z_2}Z_3}{\left|Z_3\,\right|^2} = Z_1\overline{Z_3}+Z_2\overline{Z_3}+\overline{Z_1}Z_3+\overline{Z_2}Z_3$

ในทำนองเดียวกัน จับคู่ ทั้ง ห้าคู่ จะได้$ \sum Z_1\overline{Z_3}+Z_2\overline{Z_3}+\overline{Z_1}Z_3+\overline{Z_2}Z_3 = A = 2Re(z)$

พิจารณาเอกลักษณ์$ \left|Z_1+Z_2+Z_3+Z_4+Z_5\,\right|^2 = \left|Z_1\,\right|^2+\left|Z_2\,\right|^2+\left|Z_3\,\right|^2+\left|Z_4\,\right|^2+\left|Z_5\,\right|^2+A$

$\therefore 2Re(z) = -5$

$Re(z) = -\dfrac{5}{2} $