![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
![]() ใครทำได้ช่วยทำหน่อยนะครับ เป็นข้อสอบมิดเทอมครับ โคตรยาก
1.Show that if G is an abelian group which is simple ,then G is cyclic of prime order. 2.Let G = $D_8$=<a,b:$a^4$=$b^2$=1 ,$b^{-1}$ab=$a^{-1}$> H=$Q_8$=<c,d:$c^4$=1 ,$c^2$=$d^2$,$d^{-1}$cd=$c^{-1}$> Let X,Y be the 2x2 matrices which are given by X=$\bmatrix{0 & i \\ i & 0}$ , Y=$\bmatrix{0 & -1 \\ 1 & 0}$ and let L be the subgroup <X,Y> of GL(2,C). Show that just one of the function l:Gฎ L and m:Hฎ L ,defined by l : $a^r$.$b^s$ฎ $X^r$.$Y^s$ , m : $c^r$.$d^s$ฎ $X^r$.$Y^s$ (0ฃrฃ3 , 0ฃsฃ1) , is a homomorphism. Prove that this homomorphism is an isomorphism. 3.Suppose that H is a subgroup of G with lG:Hl=2 .Prove that H ![]() เด๋ยวมาโพสท์ให้อีกนะครับ มีทั้งหมด 10 ข้อครับ โคตรยากกกกกต์ |
#2
|
||||
|
||||
![]() 4.If $v_1$,$v_2$,$v_3$,...,$v_k$ are linearly independent vectors in V , then there exist $v_{k+1}$,$v_{k+2}$,...,$v_{n}$ form a basis of V.
5.Suppose that B is a basis of the vector space V,and that $f$ and $g$ are endomorphisms of V. Then (4.1) $[f+g]_B$=$[f]_B$+$[g]_B$ and (4.2)Also,for all scalars l ,$[\lambda.f]_B$=l.$[f]_B$ 6.Show that if V and W are vector spaces and f:VฎW is an invertible linear transformation then $f^{-1}$ is a linear transformation. 7.Suppose that $U_1$,...,$U_r$ are subspaces of the vector space V,and that V=$U_1$ล...ล$U_r$ .Prove that dim V = dim $U_1$+dim$U_2$+...+dim$U_r$ 10 มกราคม 2007 22:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ shinn |
#3
|
||||
|
||||
![]() ขอลองมั่งนะคับ แหะๆ Abstract algebra ไม่เคยเรียน ขอลอง linear algebra ดีกว่า
ข้อ 5. Endomorphism หมายความว่าไงครับ ไม่เคยเจอมาก่อนครับ ข้อ 6. เนื่องจาก $f$ invertible $\Rightarrow f $ is ono-to-one mapping ให้ $f(v_1) =w_1, \;\; f(v_2)=w_2, \;\; v_1,v_2 \in V, \; w_1,w_2 \in W$ จะได้ว่า $ f(\alpha v_1 + \beta v_2)=\alpha f(v_1) + \beta f(v_2) = \alpha w_1 +\beta w_2 \in W $ จากคุณสมบัติ 1-1 ของ $f$ จะได้ว่า $\alpha v_1 + \beta v_2 = f^{-1}(\alpha w_1 +\beta w_2) \in V$ และ $v_1=f^{-1}(w_1), \; v_2=f^{-1}(w_2)$ ดังนั้น $f^{-1}(\alpha w_1 +\beta w_2) = \alpha f^{-1}(w_1) + \beta f^{-1}(w_2)$ นั่นคือ $f^{-1}: W \rightarrow V $ is also a linear transformation
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#4
|
|||
|
|||
![]() เอ...เอาข้อสอบมาให้คนอื่นทำให้มันจะดีเหรอครับ
![]() แต่ยากจริงแฮะ ข้อ 1. นั่นเป็น Qualify Exam ที่คุณ nooonuii เอามาแปะให้ผมทำเมื่อเร็วๆนี้ไม่ใช่เหรอครับ ขนาดคุณ nooonuii ยังจัดข้อนี้อยู่ในกลุ่มยากเลย ![]() ข้อ 3. นี่คิดว่าเป็นแบบฝึกหัดมาตรฐาน ไม่น่าจะยากนะครับ แต่เอ๊...มันทำยังไงหว่า ![]() ข้อ 2. ยังขี้เกียจอ่านโจทย์อยู่เลยครับ ![]() ข้อ 4. นี่คือการพิสูจน์ existence ของ basis ใช่เปล่าครับ แล้วอย่างนี้ก็ต้องใช้ Axiom of Choice น่ะสิ เอ้ย...จะเอาถึงระดับนี้เลยเหรอ ผมต้องเข้าใจอะไรผิดแน่ๆ ใครเข้าใจช่วยชี้แนะด้วยครับ ![]() ส่วนข้อที่เหลือรอ comment จากคุณ M@gpie ละกัน (อย่างนี้เค้าเรียกว่า...โบ้ย ครับ ![]() |
#5
|
|||
|
|||
![]() อืม...ขอไม่เฉลยแบบเต็มๆนะครับ เพราะเห็นว่าจะไปสอบต่อโทที่จุฬาฯ อยากให้ลองทำดูก่อนหลังจากให้ Hint ไปแล้วครับ เพราะข้อสอบจุฬาฯก็จะออกประมาณนี้แลฯ
![]() 1. ข้อนี้คุณ Warut ทำไว้ให้ดูอย่างสมบูรณ์แล้วในกระทู้ Algebra Marathon ครับ 2. สังเกตว่า $X^2=Y^2$ จึงควรจะเดาว่า $\mu$ คือ homomorphism ครับ ส่วนการพิสูจน์ก็เลือกพิสูจน์แค่ตัว generator ก็พอครับ ให้พิสูจน์ว่า $X,Y$ สอดคล้องความสัมพันธ์ของ $c,d$ ทั้งหมดครับ ดูให้ดีว่า $X$ มีคุณสมบัติเหมือน $c$ หรือ $d$ การพิสูจน์ว่า $\mu$ เป็น isomorphism ให้พิสูจน์ว่า $\mu$ onto ครับซึ่งไม่ยาก ส่วน one-to-one ได้มาโดยไม่ต้องพิสูจน์เพราะเรากำลังพิสูจน์บนเซตจำกัด 3. ข้อนี้ถ้าใช้วิธีง่ายๆก็เล่นกับ coset และนิยามของ normal subgroup ครับ ข้อความนี้ยังจริงถ้าเราแทน $2$ ด้วย $p$ เมื่อ $p$ เป็น prime divisor ที่เล็กที่สุดของ $|G|$ การพิสูจน์ค่อนข้างยากครับเพราะต้องใช้ Group Action 4. ดูจากข้อสรุปที่โจทย์ต้องการ โจทย์ขาดเงื่อนไขว่า V เป็น finite dimensional vector space ครับ ไม่อย่างนั้นอาจจะต้องใช้ Axiom of Choice อย่างที่คุณ Warut ว่า สมมติว่า V เป็น finite dimensional vector space นะครับ ให้ $dim V = n$ ถ้า $k=n$ จบ ถ้า $k < n$ สมมติว่า $\{v_1,...,v_k,v\}$ เป็น linearly dependent set ทุก $v\in V$ จะได้ว่า $dim V \leq k < n$ ซึ่งขัดแย้ง ดังนั้นจะต้องมี $v_{k+1}\neq 0$ ซึ่งทำให้ $\{v_1,...,v_k,v_{k+1}\}$ เป็น linearly independent set ทำอย่างนี้ไปเรื่อยๆก็จะได้ basis ครับ 5. Endomorphism คือ homomorphism ซึ่งส่งจาก $S$ ไปยัง $S$ เมื่อ $S$ เป็น algebraic object ใดๆ นิยามนี้ใช้ได้ทั่วไปกับเซตใดๆซึ่งมี Algebraic structure ครับ เช่น Semigroup, Group, Ring, Field, Module, Vector space, etc. ในกรณีนี้ $f,g : V\to V$ ก็คือ linear operator นั่นเองครับ ข้อนี้ไม่ยากเลยถ้าเข้าใจนิยามของ $[f]_B$ ครับ ทำตรงๆ ไม่ต้องคิดลึก 6. น้อง Magpie ทำไว้ให้แล้วครับ 7. ข้อนี้จะมั่วสัญลักษณ์นิดหน่อยเพราะต้องหยิบเอา basis ของแต่ละ $U_i$ มา แล้วก็เอามารวมกันไว้ในเซตเดียวกันจากนั้นก็แสดงว่ามันทำหน้าที่เป็น basis ของ $V$ พิสูจน์ว่ามัน linearly independent กันแค่นี้ก็พอครับเพราะว่า direct sum ของ ทั้งหมดมันเต็ม $V$ อยู่แล้วซึ่งก็หมายความว่ามัน span $V$ ไปเรียบร้อย ตอนพิสูจน์อย่าลืมใช้เงื่อนไขสำคัญของ direct sum นะครับ ป.ล. น้อง Shinn เป็นนักเรียนทุนพสวท. รึเปล่าครับ ![]()
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 11 มกราคม 2007 04:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#6
|
||||
|
||||
![]() ข้อ 7. ผมคิดแบบเดียวกะพี่ noonuii บอกเลยครับแต่ว่าเขียนพิสูจน์แล้วมัน งงๆ หลักการคือ
1. หยิบ basis ในแต่ละ $U_i$ มา 2. แสดงให้เห็นว่ามันเป็น basis ใน $V$ และ span ทั่ว V ด้วย ใช่ไหมครับ ? จะไปลองเขียนไปเขียนมาดู
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#7
|
||||
|
||||
![]() เป็นข้อสอบมิดเทอมของผมครับวิชา Topic in algebra ครับ โคตรยากก ถ้าเจอข้อสอบ Ring ยากกว่านี้ครับ แต่ผมยังไม่ได้โจทย์คืนครับ วิชา Ring รู้สึกว่าผมทำอยู่ 8 ข้อ อีก 2 ข้อไม่ได้เขียนอะไรซักอย่างเลยครับ ยากเกินไป ผมอยากลองเรียน algebra ให้เยอะๆๆ อยากรู้ว่ามันจะยากแค่ไหน พอได้เรียน ทั้ง 3ตัว(Semigroup ,Ring thm ,Topic in Algebra) ก็รู้เลยครับว่า ...อิ่ม....คงไม่เอาต่อแล้วครับ ถ้าได้เรียนโทรต่อครับ 5555++ ไม่ไหวๆ ขอลองด้านอื่น
ข้อต่อไปเลยนะครับ (ข้อ 8-ข้อ 9) 8.) Suppose that a ,b and g are representations of G over F. Prove : (1.) a is equivalent to a (2.) if a is equivalent to b ,then b is equivalent to a (3.) if a is equivalent to b ,and b is equivalent to g ,then a is equivalent to g. 9.Let r be a representation of the group G .Suppose that $g$ and $h$ are elements of G such that ($g$r)($h$r)=($h$r)($g$r). Does it follow that $gh$=$hg$ ? |
#8
|
||||
|
||||
![]() 10.Definition
Let G be a subgroup of $S_n$ . The FG-module V with basis $v_1$,$v_2$,...,$v_n$ such that $v_i$g=$v_{ig}$ for all gฮ G , is called the permutation module for G over F .We call $v_1$,$v_2$,...,$v_n$ the natural basis of V. Suppose that G=$S_3$ ,and that V=sp($v_1$,$v_2$,$v_3$) is the permutation module for G over C (C=complex number) ,as in Definition. Let $A$ be the basis $v_1$,$v_2$,$v_3$ of V and let $B$ be the basis $v_1$+$v_2$+$v_3$,$v_1$-$v_2$,$v_1$-$v_3$ . Calculate the 3 x 3 matrices $[g]_{A}$ and $[g]_{B}$ for all g in $S_3$ What do you notice about the matrices $[g]_B$ ? ปล. ผมไม่ใช่เด็ก พสวท. ครับ แต่ดันได้เรียนกับพวกมัน ![]() ![]() |
#9
|
|||
|
|||
![]() อ๋อ...เป็นข้อสอบที่สอบผ่านไปแล้วเหรอครับ ผมก็เข้าใจผิดนึกว่าเป็น take-home exam
ผมว่าวิชาทุกอย่างพอเรียนสูงๆขึ้นไปก็ยากหมดแหละ คงไม่ใช่เฉพาะ algebra หรอกครับ analysis, topology, graph theory หรืออื่นๆ ก็คงยากไม่แพ้กัน รวมไปถึงสาขาอื่นๆที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ด้วย เพื่อนผมคนนึงหลังจากเรียนคณิตศาสตร์ลึกลงไปถึงระดับหนึ่ง เขาก็พูดประมาณว่า เขาไม่ชอบคณิตศาสตร์อีกต่อไปแล้ว ซึ่งก็เป็นประโยคที่ผมจำเอามาใช้ด้วยเหมือนกันครับ ![]() |
#10
|
|||
|
|||
![]() 8. ไม่ยากครับ ปัญหาถูกแปลงไปเป็นการพิสูจน์ว่า similarity ของ matrix เป็น equivalence relation
9. ไม่น่าจะจริงโดยธรรมชาติอยู่แล้วครับ แต่จะจริงถ้า $\rho$ เป็น faithful representation 10. อันนี้ก็คำนวณตรงๆ ตามนิยามครับ โจทย์ข้อนี้น่าจะสนุกเพราะต้องใช้ทั้ง group structure ของ $S_3$ + linear algebra ยังไม่ได้ลองคิดดูครับ Algebra เป็นเครื่องมือสำคัญของวิชาอื่นครับ มันเข้าไปมีบทบาทในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์แขนงอื่นแทบทุกวิชา เพราะฉะนั้นเรียนเก็บไว้เยอะๆก็ดีครับ ที่เรียนมาสามตัวนี่ยังเป็นแค่บูธโชว์สินค้าเองครับ วิชานี้ใหญ่มากๆ และ ยังไม่ตาย เมื่อก่อนผมก็บ้าวิชา Algebra มากๆ ตอนนี้ก็ยังชอบอยู่แต่รู้สึกอิ่มแล้วเหมือนกันครับ แต่ถึงกระนั้นเทอมหน้าผมก็ยังลงวิชา Algebra ไปอีกสองตัว ![]() ![]() ![]()
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
![]() ![]() |
![]() |
||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Algebra คืออะไร | [C++] | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 15 | 30 มกราคม 2021 11:31 |
โจทย์ Algebra | Crazy pOp | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 28 กรกฎาคม 2020 03:14 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
ช่วยแสดงข้อนี้ให้ดูทีครับ (Modern Algebra) | เรียวคุง | พีชคณิต | 3 | 06 กันยายน 2006 15:27 |
คำถามพีชคณิตเชิงเส้น Linear Algebra | M@gpie | พีชคณิต | 4 | 17 พฤษภาคม 2006 10:31 |
|
|