ช่วยหน่อยครับ เรื่อง Matrix

[Epsilon]

อยากทราบว่าเรามีวิธีหาผลรวมสมาชิกทุกตัวใน matrix หรือปล่าวครับ
เช่นกำหนด matrix A ขึ้นมา
มีผลรวมสมาชิกทุกตัวเป็น k
แล้ว A ยกกำลัง n มีผลรวมสมาชิกทุกตัวเป็นเท่าไหร่ ในรูป k กับ n

ถ้าไม่มี อยากทราบว่าเพราะอะไรครับ

[nongtum]

Edit: ขอโทษทีครับรีบอ่านโจทย์ไปนิด ตอบหลุดไปไกลเลย

หากกำหนดแค่ k และ n โดยไม่ให้เมตริกซ์ A มาจะไม่มีคำตอบ เพราะเมตริกซ์ไม่ unique ครับ

ตัวอย่าง
\[A=\pmatrix{1&2\cr3&4\cr}\qquad{}A^2=\pmatrix{7&10\cr15&22\cr}\]
\[B=\pmatrix{2&3\cr4&1\cr}\qquad{}B^2=\pmatrix{16&9\cr12&13\cr}\]
สองเมตริกซ์นี้มี k(A)=k(B)=10 แต่ k(A²)=54, k(B²)=50

แต่หากให้ A มา คิดว่าทำคล้ายๆกับที่คุณ warut และคุณ nooonuii ตอบด้านล่างแหละครับ

[nooonuii]

ยังไม่เคยเห็นสูตรพวกนี้เหมือนกันครับ
แต่เท่าที่คิดดูพวก diagonalizable matrix ก็น่าจะคำนวณได้ง่ายครับ
เพราะ matrix ชนิดนี้เขียนให้อยู่ในรูป A = PBP^-1 ได้
เมื่อยกกำลังก็เลยอยู่ในรูป Aⁿ = PBⁿP^-1

[Epsilon]

ช่วยขยายความหน่อยครับคุณ nooonuii
ว่าเรามีวิธีทำได้มั้ยครับ
ที่จะหาผลรวมของสมาชิก A ^n
แบบง่ายๆ ไม่ต้องเปนสูตรก็ได้ครับ
แต่เอาให้ง่ายที่สุดอ่าครับ

ขอบคุณมากครับ

[Epsilon]

matrix นี้ทำได้ป่าวครับ

0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0

กับ

0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0

[warut]

ถ้า\[A=\pmatrix{0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0}\]
โดย induction เราจะได้\[A^{2n}=
\pmatrix{F_{2n-1}&0&F_{2n}&0\\0&F_{2n+1}&0&F_{2n}\\F_{2n}&0&F_{2n+1}&0\\
0&F_{2n}&0&F_{2n-1}}\]
โดยที่ \(F_n\) คือ Fibonacci number ตัวที่ \(n\) นั่นคือ \(F_1=F_2=1\) และ \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\)

ดังนั้น\[A^{2n+1}=AA^{2n}=
\pmatrix{0&F_{2n+1}&0&F_{2n}\\F_{2n+1}&0&F_{2n+2}&0\\
0&F_{2n+2}&0&F_{2n+1}\\F_{2n}&0&F_{2n+1}&0}\]
แสดงว่าผลบวกของสมาชิกทุกตัวของ \(A^n\) มีค่าเท่ากับ \(2F_{n+1}+4F_n+2F_{n-1}=2F_{n+3}\)

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Epsilon:
matrix นี้ทำได้ป่าวครับ

0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0

กับ

0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0

อันแรกทำได้ครับเพราะมี eigenvalue ที่ต่างกันทั้งหมด แต่ matrix ใหญ่เกินไปเลยกินแรงครับแถม eigenvalue เป็นจำนวนอตรรกยะอีกต่างหากเลยยุ่งเกินไปครับ ส่วนอันที่สองนี่ผมต้องแก้สมการพหุนามกำลังห้าครับเลยเลิกคิดไป ผมจะแสดงตัวอย่าง matrix ขนาดเล็กให้ดูละกัน

ให้ \[ \Large{ A=\bmatrix{1 & 2 \\ 2 & 1} } \]
จะได้ว่า \[ \Large{ A = \bmatrix{1 & 1 \\ 1 & -1}\bmatrix{3 & 0 \\ 0 & -1} \bmatrix{1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2} } \]
ดังนั้น \[ \Large{ A^n = \bmatrix{1 & 1 \\ 1 & -1}\bmatrix{3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n} \bmatrix{1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2} = \frac{1}{2} \bmatrix{3^n+(-1)^n & 3^n-(-1)^n \\ 3^n-(-1)^n & 3^n+(-1)^n} } \]
ถ้าให้ \( \Large{ \sigma{(A)}= } \)ผลบวกของทุกสมาชิกใน A เราจะได้ว่า
\[ \Large{ \sigma{(A^n)} = 2 \cdot 3^n } \]

[nooonuii]

อ๊ะ คุณ Warut แสดงให้ดูแล้วครับ

[warut]

สำหรับเมตริกซ์อันที่สองก็ทำได้ครับ (characteristic polynomial ดีกรี 5 ของมันสามารถแยกตัวประกอบได้) แต่ว่าทารุณมาก คำตอบแบบแยกกรณีที่ผมหาได้คือ\[\sigma(A^{2n})=
14\cdot3^{n-1}\]\[\sigma(A^{2n+1})=
8\cdot3^n\]คิดแบบแยกกรณีจะง่ายกว่า แต่จะเอาคำตอบที่ได้มารวมกันได้ยากครับ ถ้าจะหาคำตอบแบบรวมต้องทำตั้งแต่ต้นเลย ซึ่งที่ผมหาได้คือ\[\sigma(A^n)=
\left((7+4\sqrt3)+(7-4\sqrt3)(-1)^n\right)3^{n/2-1}\]

[Epsilon]

ขอบคุณมากครับ

[Epsilon]

ว่าแต่คุณ warut แยกเมทริกซ์อันที่ 2 ออกเป็น matrix คูณกัน 3 เมทริกซ์ยังไงเหรอครับ
ช่วยแสดงวิธีให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[warut]

ใช้คอมพ์ช่วยครับ แต่ถ้าอยากทำแบบ manual ก็ลองอ่านบทความของคุณ TOP ดูนะครับ