|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
02 กุมภาพันธ์ 2007, 23:27
|
||||
|
||||
ถ้ากรุ๊ป G มีสมาชิกห้าตัวแล้ว G ต้องเป็นกรุ๊ปสลับที่
มันเป็นแบบฝึกหัดที่ไม่ทราบเฉลยหนะครับ
ข้อแรกๆบอกว่าให้แสดงว่ากรุ๊ปสมาชิกสามตัวเป็นกรุ๊ปสลับที่ กรุ๊ปสมาชิกสี่ตัวเป็นกรุ๊ปสลับที่ ผมก็ใช้เขียน operation table ให้ครบทุกแบบ ก็พอทำได้ แต่พอจะใช้วิธีเดียวกันกับกรุ๊ปสมาชิกห้าตัวแล้วรู้สึกทางแยกมันเยอะจัง เหมือนกับว่ามี operation table ได้หลายแบบ เขียนไปได้ครึ่งทางชักไม่แน่ใจว่าจะเขียนได้ครบ ถามเพื่อนเขาว่ามี operation table แบบเดียว ก็ยังงงๆอยู่ ถ้าผู้รู้ท่านใดทราบวิธีพิสูจน์ช่วยแนะนำด้วยครับ ขอบคุณมากๆ
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $ 
|
|
#3
03 กุมภาพันธ์ 2007, 00:03
|
||||
|
||||
|
ขอบคุณคุณ Passer by ผู้มากน้ำใจ ทำได้แล้วครับ ถ้าเรียนจบสงสัยต้องส่งต่อปริญญาบัตรให้คนที่นี่รักษาไว้ อิอิ
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $
|
|
#4
03 กุมภาพันธ์ 2007, 00:23
|
||||
|
||||
|
ขอความกรุณาผู้รู้อีกสักข้อครับ
If G is a group of even order, prove that it has an element a $\not=$ e satisfying $a^2 = e$.  ขอบพระคุณครับ
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $
|
|
#5
03 กุมภาพันธ์ 2007, 01:19
|
|||
|
|||
เนื่องจากจำนวนสมาชิกของเซต $G\setminus \{e\}$ เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นถ้าหากเราจับคู่สมาชิกในเซตนี้ที่เป็น inverse ของกันและกัน (จับคู่ $a$ กับ $a^{-1}$ เมื่อ $a\ne a^{-1}$) มันจะต้องมีเศษเหลือ ซึ่งก็คือสมาชิก $a\in G\setminus \{e\}$ ที่เป็น inverse ของตัวเอง นั่นคือ $a=a^{-1}$ ซึ่งก็คือ $a^2=e$ ครับ
|
|
#7
03 กุมภาพันธ์ 2007, 12:31
|
|||
|
|||
|
ขอแสดงวิธีคิดแบบ Low-tech บ้างนะครับ อาจจะดูยุ่งๆไปนิดนึง แต่ผมว่าเหมาะสำหรับผู้เริ่มต้นเรียนวิชานี้มากๆครับ เพราะวิธีพิสูจน์ต่อไปนี้ใช้แค่นิยามของ Group เท่านั้นเอง
1. Every group of order 3 is abelian. Proof : Suppose $G=\{e,a,b\}$ where $e$ is the identity. Then we must have $ab = e$ since $a,b$ are not the identity element. Thus $ab = e = ba.$ Therefore, $G$ is abelian. 2. Every group of order 4 is abelian. Proof : Suppose $G$ is a group of order 4 with the identity $e$ . Let $a\in G-\{e\}.$ Consider the set $\{a,a^2,a^3,...\}.$ Clearly, $a^4 = e.$ Case 1 : $a^2 = e.$ Then $G$ must have another element, say $b\neq e,a$, since otherwise $G$ would have only 2 elements which is absurd. Now consider $ab.$ The following possibilities lead to a contradiction : 1. $ab = e \Rightarrow b = a^{-1} = a,$ 2. $ab = a \Rightarrow b=e,$ 3. $ab = b \Rightarrow a = e.$ Thus $ab$ is another element in $G$, so we can write $G = \{e,a,b,ab\}$. Next, consider $ba.$ The same argument as above shows that $ba = ab.$ Thus $a(ab) = a(ba) = (ab)a$ and $b(ab) = (ba)b = (ab)b.$ This shows that $G$ is abelian. Case 2 : $a^2 \neq e.$ Then $a^3 = e$ or $a^3 \neq e.$ If $a^3 = e$ then we can write $G = \{e,a,a^2,b\}$. By considering $ab$ we conclude that $G$ has more than 4 elements which is a contradiction. Thus $a^3\neq e$ and hence $G = \{e,a,a^2,a^3\}.$ It is easy to see that $G$ is abelian. In fact, $G$ is cyclic in this case. 3. Every group of order 5 is abelian. Proof : Suppose $G$ is a group of order 5 with the identity $e$ . Let $a\in G-\{e\}.$ We will show that $G = \{e,a,a^2,a^3,a^4\}.$ Case 1 : $a^2 = e.$ Then we can write $G = \{e,a,b,ab,c\}$. But then we can show that $ac$ is another element in $G$ which is a contradiction. Case 2 : $a^2\neq e, a^3 = e.$ Then we can write $G=\{e,a,a^2,b,ab\}.$ Then $ab = ba$. But then we can show that $ba^2$ is another element in $G$, a contradiction. Case 3 : $a^2\neq e, a^3 \neq e, a^4 = e.$ Then we can write $G=\{e,a,a^2,a^3,b\}$. But then we can show that $ab$ is another element in $G$, a contradiction. Therefore, $G$ is cyclic and hence abelian.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#8
03 กุมภาพันธ์ 2007, 12:42
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#9
06 กุมภาพันธ์ 2007, 06:20
|
||||
|
||||
|
ขอบคุณคุณ nooonuii มากที่ช่วยเฉลยให้เพิ่มเติม พื้นผมไม่แน่น แบบนี้ก็เป็นประโยชน์มากครับ
ไม่ได้ช่วยตอบเลย หนักไปทางถาม  
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $
|
| |
|
|
