การเรียงสับเปลี่ยน 1 ข้อ

[~ToucHUp~]

ให้มีคน 20 คนถูกเชิญไปร่วมงานเลี้ยงซึ่งมีนาย ก และนาย ข รวมอยู่ด้วยโดยจัดให้ผู้เข้าร่วมงานนั่งโต๊ะที่เป็นวงกลม 2 โต๊ะๆละ 10 คน จงหาความน่าจะเป็นที่นาย ก และนาย ข จะได้นั่งติดกันรอบโต๊ะเดียวกัน

ปล.ผมคิดได้ไม่ตรงกับเฉลยอะครับ เลยลองเอามาลงให้ช่วยทำให้ดูหน่อย

[Relaxation]

คุณ ~ToucHUp~ คิดได้ 2/19 รึเปล่าครับ

[Relaxation]

ของผมคิดจากตอนแรกมัดนาย ก นาย ข ไว้ด้วยกันแล้วเลือกลงโต๊ะใดโต็ะหนึ่งได้ 2 วิธี จากนั้น ภายในมัดสลับที่กับเองได้ 2 วิธี แล้วแบ่งคนที่เหลือ 18 คนเป็น 2 กลุ่ม 8คน กับ 10 คน ได้ 18!/(10!8!) แล้วเอา กลุ่ม 8 คนไปเรียงรวมจาก โต๊ะที่นาย ก นาย ข นั่งได้ 8! อีก 10 คนจัดลงอีกโต๊ะนึงได้ 9! รวมวิธีการทั้งหมดจะได้ = 2*2*18!/(10!8!)*8!*9! ส่วน n(S) หาจาก [20!/(10!10!)]*9!9!

[~ToucHUp~]

ผมคิดได้ 1/19 อะครับ ผมว่าตรง n(s) มันน่าจะสลับโต๊ะได้อีก 2 วิธีรึเปล่า?? หรือผมเข้าใจผิด

[polsk133]

คิดว่าไม่ต้องนะครับ เพราะก้อน20!/10!10! มันสับเรียบร้อยลงให้สองโต๊ะเรียบร้อยแล้ว

[~ToucHUp~]

มันแค่แบ่งกลุ่มไม่ใช่หรอครับ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ToucHUp~

ผมคิดได้ 1/19 อะครับ ผมว่าตรง n(s) มันน่าจะสลับโต๊ะได้อีก 2 วิธีรึเปล่า?? หรือผมเข้าใจผิด

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=15407

[~ToucHUp~]

ถ้าโต๊ะเหมือนกันแล้ว ตอนที่มัดนาย ก กับนาย ข ลงโต๊ะ ก็ไม่ต้องสลับโต๊ะหรือเปล่าครับ??

[~ToucHUp~]

ปลุกหน่อยครับ

[~ToucHUp~]

ขออนุญาตปลุกอีกรอบนะครับ ใกล้สอบเตรียมฯแล้ว

[~ToucHUp~]

ปลุกหน่อยครับ

[gon]

ถ้าคิดว่าโต๊ะสองตัวเหมือนกัน

หา n(S)
ขั้นที่ 1. แบ่งคน 20 คน ออกเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มละ 10 คน แบ่งได้ $\frac{20!}{10!10!} \times \frac{1}{2!}$
ขั้นที่ 2.
กลุ่มแรกเลือกว่าจะไปนั่งโต๊ะตัวไหน เลือกได้ 1 วิธี (เพราะคิดว่าโต๊ะเหมือนกัน)
กลุ่มที่สองเลือกว่าจะไปนั่งโต๊ะตัวที่เหลือ เลือกได้ 1 วิธี
ขั้นที่ 3.
โต๊ะแรกนั่งได้ 9! วิธี
โต๊ะที่สองนั่งได้ 9! วิธี
ดังนั้น n(S) = $\frac{20!}{10!10!}\times \frac{1}{2!} \times 1 \times 1 \times 9! 9!$

หา n(E)
เอา นาย ก และ ข. ออกไปก่อน
ขั้นที่ 1. แบ่งคน 18 คนที่เหลือออกเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มละ 8 คน กับกลุ่มละ 10 คน แบ่งได้ $\frac{18!}{10!8!} $
ขั้นที่ 2. นาย ก. และ ข. ต้องไปรวมกับกลุ่ม 8 คน เลือกได้ 1 วิธี
ขั้นที่ 3.
กลุ่มแรกเลือกว่าจะไปนั่งโต๊ะตัวไหน เลือกได้ 1 วิธี (เพราะคิดว่าโต๊ะเหมือนกัน)
กลุ่มที่สองเลือกว่าจะไปนั่งโต๊ะตัวที่เหลือ เลือกได้ 1 วิธี
ขั้นที่ 4.
โต๊ะที่มี นาย ก.และ ข. นั่งได้ 8! 2! วิธี
โต๊ะที่ไม่มี นาย ก.และ ข. ได้ 9! วิธี
ดังนั้น n(E) = $\frac{18!}{10!8!} \times 8! 2! \times 9!$

จะได้ $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{\frac{18!}{10!8!}\times 1 \times 1 \times 1 \times 8! 2! \times 9!}{\frac{20!}{10!10!} \times \frac{1}{2!} \times 1 \times 1 \times 9! \times 9!} = \frac{2}{19}$

==========================================================
ถ้าคิดว่าโต๊ะสองตัวต่างกัน

หา n(S)
ขั้นที่ 1. แบ่งคน 20 คน ออกเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มละ 10 คน แบ่งได้ $\frac{20!}{10!10!} \times \frac{1}{2!}$
ขั้นที่ 2.
กลุ่มแรกเลือกว่าจะไปนั่งโต๊ะตัวไหน เลือกได้ 2 วิธี (เพราะคิดว่าโต๊ะต่างกัน)
กลุ่มที่สองเลือกว่าจะไปนั่งโต๊ะตัวที่เหลือ เลือกได้ 1 วิธี
ขั้นที่ 3.
โต๊ะแรกนั่งได้ 9! วิธี
โต๊ะที่สองนั่งได้ 9! วิธี
ดังนั้น n(S) = $\frac{20!}{10!10!}\times \frac{1}{2!} \times 1 \times 2 \times 1 \times 9! 9!$

หา n(E)
เอา นาย ก และ ข. ออกไปก่อน
ขั้นที่ 1. แบ่งคน 18 คนที่เหลือออกเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มละ 8 คน กับกลุ่มละ 10 คน แบ่งได้ $\frac{18!}{10!8!} $
ขั้นที่ 2. นาย ก. และ ข. ต้องไปรวมกับกลุ่ม 8 คน เลือกได้ 1 วิธี
ขั้นที่ 3.
กลุ่มแรกเลือกว่าจะไปนั่งโต๊ะตัวไหน เลือกได้ 2 วิธี (เพราะคิดว่าโต๊ะต่างกัน)
กลุ่มที่สองเลือกว่าจะไปนั่งโต๊ะตัวที่เหลือ เลือกได้ 1 วิธี
ขั้นที่ 4.
โต๊ะที่มี นาย ก.และ ข. นั่งได้ 8! 2! วิธี
โต๊ะที่ไม่มี นาย ก.และ ข. ได้ 9! วิธี
ดังนั้น n(E) = $\frac{18!}{10!8!} \times 1 \times 2 \times 1 \times 8! 2! \times 9!$

จะได้ $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{\frac{18!}{10!8!}\times 1 \times 2 \times 1 \times 8! 2! \times 9!}{\frac{20!}{10!10!} \times \frac{1}{2!} \times 1 \times 2 \times 1 \times 9! \times 9!} = \frac{2}{19}$

จะเห็นได้ว่า จำนวนวิธีใน n(E), n(S) เมื่อคิดว่าโต๊ะสองตัวต่างกันหรือเหมือนกัน จะไม่เท่ากัน แต่ถ้านำมาหาความน่าจะเป็นแล้ว มันจะตัดกันได้เท่ากัน

[~ToucHUp~]

ขอบคุณมากครับ