ช่วยโจทย์ตรีโกณด้วย ครับ

[pluto]

cos^2(1)+cos^2(2)+cos^2(3)+....cos^2(179)=?

[MiNd169]

ตอบ 89 ครับ

[กิตติ]

ข้อนี้คิดได้ 89
$cos^2(1)+cos^2(2)+cos^2(3)+....+cos^2(179)=?$
$cos(1)=cos(180-179)= -cos(179)$
$cos^2(1)=cos^2(179)$
จาก$cos2A=2cos^2A-1$ ดังนั้น$2cos^2A=cos2A+1$
จับคู่ขององศาที่รวมกันได้ 180 เป็น $\overbrace{1-179,2-178,3-177,...,89-91}^{89 พจน์} $
$cos^2(1)+cos^2(179)=cos2+1$
$cos^2(2)+cos^2(178)=cos4+1$ ไปจนถึงพจน์ที่45
$cos^2(45)+cos^2(135)=cos90+1$
$cos^2(46)+cos^2(134)=cos92+1$
$cos^2(47)+cos^2(133)=cos94+1$ ไปจนถึงพจน์ที่89
$cos^2(89)+cos^2(91)=cos178+1$
มาดูจาก$cosA+cosB=2cos\frac{(A+B)}{2}cos\frac{(A-B)}{2} $
ลองจับคู่ระหว่าง$cos2+cos178 =2cos\frac{(178+2)}{2}cos\frac{(178-2)}{2} =2cos90cos88=0$
เราจะได้คู่ดังนี้$cos2,cos4,cos6,...,cos88$ ....ทั้งหมด 44 พจน์
จับคู่เรียงกันกับ$cos178,cos176,cos174,...,cos92$ ทั้งหมด 44 พจน์
$cos^2(1)+cos^2(2)+cos^2(3)+....+cos^2(179)= \overbrace{1+1+...+1}^{89 พจน์} =89$