ช่วยเฉลยโจทย์calculusข้อนี้ให้หน่อยค่ะ (อินทิกรัลไม่ตรงแบบที่มีตัวแปรเสริม)

[khlongez]

กำหนดให้ $F(t) = \int_{0}^{\infty}\,\frac{e^{-tx}sinx}{x} dx $

1.1 จงพิสูจน์ว่า $F(t)$ ลู่เข้าเอกรูปสำหรับทุก $t \geqslant 0$

1.2 จงพิสูจน์ว่า $F(t) = \frac{\pi }{2}-arctan t$

1.3 จงพิสูจน์ว่า $\int_{0}^{\infty}\,\frac{sinx}{x} dx = \frac{\pi }{2}$


ช่วยหน่อยนะคะ ใกล้จะสอบแล้ว แต่ยังทำไม่ได้เลย

[nooonuii]

ลองทำดูก่อนครับ ถ้าไม่เข้าใจตรงไหนเดี๋ยวอธิบายเพิ่มให้

1.1 พิสูจน์โดยใช้ Mean Value theorem ว่า

$|\sin{x}-\sin{y}|\leq |x-y|$ ทุก $x,y\in\mathbb{R}$

ดังนั้น $|\sin{x}|\leq x$ ทุก $x\geq 0$

จึงได้ว่า $\displaystyle{|F(t)|\leq \int_0^{\infty}e^{-tx}\,dx<\infty}$

1.2 พิสูจน์ว่า $F'(t)=-\dfrac{1}{1+t^2}$

ดังนั้น $F(t)=c-\tan^{-1}(t)$

หาค่า $c$ โดยสังเกตว่า $\displaystyle{\lim_{t\to\infty}F(t)=0}$

1.3 ง่ายครับ