Infinite non-commutative group

[B บ ....]

1. ขอตัวอย่าง infinite non-commutative group ที่สามาถเปลี่ยน binary operation แล้วกลายเป็น infinite commutative group ครับ
(ทีแรกคิดถึงเซตของเมทริกซ์ที่ $\det \neq 0$ กับการคูณซึ่งไม่ commute แต่พอเปลี่ยน operation มาเป็นบวก มันไม่เป็นกรุป เพราะ ขาดเมทริกซ์ 0, พวก $S_n \times Z$ ก็ infinite non commutative แต่ไม่รู้จะสร้าง operation อีกตัวยังไงดี ให้มันเป็นกรุปและ commute)
2. Let $R$ be a commutative ring and let $A = \{a \in R| a^n =0 \ \exists n \in \mathbb{N}\}$. Show that $A$ is ideal of $R$.
ตรงสมบัติดูดกลืน $ar, ra \in A\ \forall r \in R$ แสดงได้ครับ แต่แสดงว่า $(A;+)$ เป็น subgroup ของ $R$ ไมไ่ด้ ไม่แน่ใจว่าจะหา $n \in \mathbb{N}$ ตัวไหนที่ทำให้ $(a-b)^n =0$.

[MINGA]

1. ลองดู finite group ที่มีสมบัติที่ต้องการก่อนก็ได้ครับ แล้วก็ค่อย direct sum กับพวกที่ infinite
2. ถ้า $a^m=0,b^n=0$ แล้ว $(a+b)^{m+n}=0$ หรือเปล่า?

[nooonuii]

1. เราสามารถสร้าง binary operation บน finite set ให้เป็น cyclic group ได้เสมอครับ ก็ใช้ $S_n\times \mathbb{Z}$ น่ะถูกแล้ว

ลองดูตารางเคเลย์ของ cyclic group สิครับว่าหน้าตามันเป็นยังไง เราก็นิยามตามนั้นแหละ

[B บ ....]

อ้อ ครับขอบคุณครับ พอดีไปนั่งนึกๆดู สิ่งที่เค้าหาอยู่ คือ division ring ที่ไม่เป็น field รึป่าวครับ ? ถ้างั้น Quaternion ring น่าจะใช้ไดั เฮ้อพวก strictly skew field กายากซะด้วยถึงว่าลองยังไงก็ไม่เจอ ��
แต่ขอบคุณไอเดียจากคุณ MINGA กับ noonuii มากครับ ช่วยได้เยอะ ลืมคิดไปว่าจริงๆใช้ $S_3 \times \mathbb{Z}$ บน operation ปกติของมันก็ได้ infinite non abelian แล้วจับคู่สมาชิกจาก $S_3$ กับ $Z_6$ แล้วนิยาม operation ตาม $Z_6$ ก็น่าจะได้ abelian group แล้ว cross กับ จำนวนเต็มก็ได้ infinite abelian group