ถามเรื่อง cardinality ของ infinite set ครับ มีปัญหา

[boorapas]

cardinality ของ infinite set นี่มีกี่แบบครับ ผมทราบแค่ 2 แบบคือ infinite countable มี cardinality เป็น aleph 0 กับ cardinality ของเซตของจำนวนจริง คือ c โดยที่เราทราบว่า aleph 0 < c
เช่น ถ้าบอกว่าให้ X เป็น infinite set ที่มี cardinality p และ q เป็น infinite cardinal ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ p แล้ว แบบนี้หมายความว่าอะไร
หมายความว่า
1. p = c = q
หรือ 2. p = aleph 0 = q
หรือ 3. p = c และ q = aleph 0
แค่ 3 แบบนี้เท่านั้นใช่ไม๊ครับ หรือเป็นไปได้แบบอื่นอีก และถ้าเป็นไปได้แบบอื่นอีกเนี่ยพอจะยกตัวอย่างให้ดูได้ไม๊ครับ พอดีตอนนี้แกะ paper อยู่ซึ่งต้องใช้เรื่องนี้ด้วยครับ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ผมว่ามีมากกว่านั้นครับ

infinite set มีสองแบบคือ

1. countably infinite set เช่น เซตของจำนวนนับ,จำนวนเต็ม,จำนวนตรรกยะ

2. uncountable set เช่น เซตของจำนวนอตรรกยะ,เซตของจำนวนจริง

แต่ถ้านับ cardinality ของเซตแล้วจะมี cardinal number มากมายไม่สิ้นสุด

ลองสังเกตว่า $A$ จะเป็นสับเซตแท้ของ $P(A)$ เสมอ

ดังนั้น ถ้าเราให้ $\aleph_{0}$ เป็น cardinal number ของ $\mathbb{N}$ (เซตของจำนวนนับ)

$\aleph_1$ จะเป็น cardinal number ของ $P(\mathbb{N})$

$\aleph_2$ จะเป็น cardinal number ของ $P(P(\mathbb{N}))$
$\vdots$

[boorapas]

ขอบคุณครับ