เรื่องอนุกรม ช่วยหน่อยคับ

[Amount of infinite]

1.ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดย a=1111...1 มี 1 อยู่ m ตัว และ b=1000...05 โดยมี 0 อยู่ m-1 ตัว
จงแสดงว่า ab+1 เป็นกำลัง 2 ของจำนวนเต็ม พร้อมบอกด้วยว่า รากที่ 2 ของ ab+1 สามารถเขียนให้อยู่ในรูป a และ b ได้หรือไม่

2.เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาผลบวก $\binom{2n+1}{0} +\binom{2n+1}{1}+...+\binom{2n+1}{n}$

3.จงหาผลบอกต่อไปนี้
3.1 $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n}{n+1}$
3.2 $\sum_{n = 1}^{\infty}n!(n^2+n+1)$
3.3 $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$
3.4 $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n^2-0.5}{n^4-0.25}$

[Anonymous314]

3.2 $\sum_{n = 1}^{\infty}n!(n^2+n+1)$
hint: $\sum_{n = 1}^{\infty}n!(n^2+n+1)=\sum_{n = 1}^{\infty}n!(n^2+2n+1)-\sum_{n = 1}^{\infty}n!(n)$
$=\sum_{n = 1}^{\infty}(n+1)!(n+1)-\sum_{n = 1}^{\infty}n!(n)$

[หยินหยาง]

ข้อ 1. $a=\frac{10^m-1}{9} , b=10^m+5 $
ดังนั้น $ab+1 =(\frac{10^m-1}{9})(10^m+5)+1 = \frac{(10^m)^2+4(10^m)+4}{9}=(\frac{10^m+2}{3})^2=(\frac{b-3}{3})^2$
ถึงขั้นนี้แล้วน่าจะเห็นคำตอบแล้วนะครับคือ...

ข้อ2.คำตอบคือ $2^{2n}$

[t.B.]

3.3 ใช้ Conjugate + telescopic
ส่วนข้ออนุกรมใน 3.1 เหมือนจะลู่ออกนะครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amount of infinite

3.จงหาผลบอกต่อไปนี้
3.1 $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n}{n+1}$

ได้\[
a_n = \frac{n}{{n + 1}}
\]
เนื่องจาก \[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{n + 1}} = 1 \ne 0
\]
ดังนั้น \[
\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {\frac{n}{{n + 1}}}
\]
ลู่ออกโดย Divergent Test