มีปัญหาอีกแล้วครับ

[erk12th]

ให้ $X$ เป็นปริภูมิเชื่อมโยงเฉพาะที่ และ $A\subseteq X$ เป็นเซตใด ๆ ถ้า $Bdr$ $A$ เป็นปริภูมิเชื่อมโยงเฉพาะที่ จงพิสูจน์ว่า $\overline{A} $ เป็นปริภูมิเชื่อมโยงเฉพาะที่

[nooonuii]

ขอภาษาอังกฤษของคำนี้ครับ

ปริภูมิเชื่อมโยงเฉพาะที่

ผมรู้แค่ว่ามัน connected

แต่คำว่า เฉพาะที่ นี่มันคืออะไรครับ

[nongtum]

ผมคิดว่า เขาน่าจะหมายถึง locally connected space มังครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Locally_connected
แต่ผมไม่รู้ว่า $Bdr A$ นอกจากเป็นปริภูมิเชื่อมโยงเฉพาะที่ มันยังเป็นอะไรได้อีกครับ (ย่อจากอะไร หรือนิยามไปงั้นๆ)

[nooonuii]

ผมก็คิดว่าเป็น locally connected space ครับ

$Bdr A=$ boundary of $A$

[erk12th]

ปริภูมิเชื่อมโยงเฉพาะที่ก็คือ Locally Connected Space และ Bdr A ก็คือ Boundary ของ A ครับ

[nooonuii]

ถามต่ออีกนิดครับว่า ไม่มีเงื่อนไขบนเซต $A$ เลยเหรอครับ เช่น $A$ is locally connected เป็นต้น

Add : เข้าใจแล้วครับ ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมบน $A$

[erk12th]

ไม่มีเลยครับ บอกข้อมูลแค่ตามโจทย์ที่ให้เฉย ๆ

[nooonuii]

First, we will show that every open subset of $X$ is locally connected.

Let $V$ be open in $X$.

Pick any $x\in V$ and a neighborhood $V'$ of $x$ in $V$ .

Note that $V'$ is also open in $X$ since $V$ is open.

Since $X$ is locally connected and $V'$ is a neighborhood of $x$,

there is an open connected set $U\subseteq V'$ containing $x$.

Thus $V$ is locally connected.

It is easy to show that a disjoint union of two locally connected

subspaces of $X$ is again locally connected.

Observe that $\overline{A}$ is a disjoint union of $int(A)$ and $Bd(A)$.

Since $int(A)$ is open, it is locally connected.

Thus $\overline{A}$ is locally connected since $int(A)$ and $Bd(A)$ are locally connected.

[erk12th]

ขอบคุณมากครับผม