อีกข้อนะครับ เรื่อง ปริภูมิเชิงทอพอโลยี

[ArtnacluB]

ให้ X เป็นปริภูมิได้ที่หนึ่ง และ x เป็นจุดลิมิตของเซตย่อย A ของ X
จงแสดงว่า มีลำดับใน A - {x} ซึ่งลู่เข้าสู่ x

เหมือนเดิมนะครับ ถ้าทำ Proof เป็น ภาษาอังกฤษได้ ช่วยหน่อยนะครับ

***ขอถามนอกเรื่องอีกเรื่องครับ
จะทำยังไง ถึงจะเรียน เรื่องพวกนี้ รู้เรื่องอ่าครับ ทุกวันนี้ ต้องจำแต่ ทฤษฎีบท ที่มีให้เห็น (กว่าจะจำได้ ก็แทบตาย) แต่นำไปประยุกต์ กับโจทย์ใหม่ๆ ไม่เคยได้เลย (ถ้าโจทย์ใหม่มา ทำไม่ได้เลยจริงๆ)

ไม่เข้าใจจริงๆ ว่า คนอื่น เรียนรู้เรื่องยังไง เหอๆ

ขอบคุณล่วงหน้านะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ArtnacluB

ให้ $X$ เป็นปริภูมิได้ที่หนึ่ง และ $x$ เป็นจุดลิมิตของเซตย่อย $A$ ของ $X$
จงแสดงว่า มีลำดับใน $A - {x}$ ซึ่งลู่เข้าสู่ $x$

ปริภูมิได้ที่หนึ่ง = first countable space

ใช้การที่ $x$ มี countable basis กับการที่มันเป็น limit point

ลองดูนิยามของการเป็น limit point ให้ดีครับ

วิชานี้ต้องมีความรู้เกี่ยวกับ เซต และ ฟังก์ชันเป็นอย่างดี

ที่เหลือก็พยายามทำความเข้าใจนิยามให้เยอะๆครับโจทย์ส่วนใหญ่จะเน้นการเช็คนิยามเป็นหลัก

อย่างข้อนี้โจทย์ให้หาลำดับ $x_n\to x$

จะหา $x_n$ มาจากไหน ก็ควรมาจากตัว countable basis ที่ $x$ มี

แต่ลำดับนี้ต้องมีคุณสมบัติพิเศษคือทุกตัวต้องไม่เท่ากับ $x$

จะทำอย่างนี้ได้ $x$ ก็ต้องเป็น limit point ของ $A$

ถ้าเข้าใจนิยามของ limit point ก็จะมองเห็นภาพทั้งหมดครับ

[ArtnacluB]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ปริภูมิได้ที่หนึ่ง = first countable space

ใช้การที่ $x$ มี countable basis กับการที่มันเป็น limit point

ลองดูนิยามของการเป็น limit point ให้ดีครับ

วิชานี้ต้องมีความรู้เกี่ยวกับ เซต และ ฟังก์ชันเป็นอย่างดี

ที่เหลือก็พยายามทำความเข้าใจนิยามให้เยอะๆครับโจทย์ส่วนใหญ่จะเน้นการเช็คนิยามเป็นหลัก

อย่างข้อนี้โจทย์ให้หาลำดับ $x_n\to x$

จะหา $x_n$ มาจากไหน ก็ควรมาจากตัว countable basis ที่ $x$ มี

แต่ลำดับนี้ต้องมีคุณสมบัติพิเศษคือทุกตัวต้องไม่เท่ากับ $x$

จะทำอย่างนี้ได้ $x$ ก็ต้องเป็น limit point ของ $A$

ถ้าเข้าใจนิยามของ limit point ก็จะมองเห็นภาพทั้งหมดครับ

$เรียกจุด x \epsilon $ X ว่าจุดลิมิต ของ A ก็ต่อเมื่อ V $\cap $ {A-{x}} $\not= \oslash $สำหรับทุก เนเบอร์ฮูด V ของ x ใน X

ใช่หรือป่าว อ่าครับ นิยาม ตัวนี้

[nooonuii]

ใช่ครับ สมมติ $x$ มี basis คือ ถ้าเราเลือก $V=B_1$ ให้เป็น basis element ที่จุด $x$ เราจะสามารถเลือก จุด $x_1$ มาได้จุดหนึ่งในเซต

$B_1\cap A-\{x\}$

จากคุณสมบัติของ basis

จะมี $B_2\subseteq B_1$

เราก็เลือกจุด $x_2\in B_2\cap A-\{x\}$ ได้อีก

ทำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ ก็จะได้ลำดับที่ต้องการแล้วครับ

ที่เหลือก็แค่พิสูจน์ว่า $x_n\to x$

อันนี้ลองใช้คุณสมบัติของ basis ที่จุด $x$ มาช่วยครับ

[ArtnacluB]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ปริภูมิได้ที่หนึ่ง = first countable space

พอดีเพิ่งหาเจอครับ

ให้ (X,$\tau $) เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี เรากล่าวว่า (X,$\tau $) ว่าปริภูมินับได้ที่หนึ่ง ก็ต่อเมื่อ แต่ละ x $\epsilon $ X จะมีฐานเฉพาะที่ที่จุด x เป็นเซตนับได้

[ArtnacluB]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ที่เหลือก็แค่พิสูจน์ว่า $x_n\to x$

อันนี้ลองใช้คุณสมบัติของ basis ที่จุด $x$ มาช่วยครับ

ทำไม ต้อง พิสูจน์ ให้ $x_n\to x$ หรอครับ โจทย์ไม่เห็นมีบอก

และคุณสมบัติของ basis ที่จุด x มีอะไรบ้างหรอครับ หาดูในชีท แล้ว ไม่เจอ เลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ArtnacluB

ทำไม ต้อง พิสูจน์ ให้ $x_n\to x$ หรอครับ โจทย์ไม่เห็นมีบอก

และคุณสมบัติของ basis ที่จุด x มีอะไรบ้างหรอครับ หาดูในชีท แล้ว ไม่เจอ เลยครับ

โจทย์ให้หาลำดับที่ลู่เข้าหา $x$

ลองดูนิยามของ first countable space ก็จะรู้ครับว่าหมายถึงอะไร

[ArtnacluB]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

พิสูจน์ว่า $x_n\to x$

ก็คือ ต้องโชว์ให้ x $\epsilon $ X ใช่มั้ยครับ
ถ้า x $\epsilon $ X แล้ว ก็จะได้ว่า มีฐานเฉพาะที่ที่จุด x เป็นเซตนับได้

ใช่หรือป่าวครับ

[ArtnacluB]

Proof: Let x $\epsilon $ X if and only if V ⋂ {A-{x}} $\not= $ $\oslash $
Assume that $V=B_1$ is basis element x , we have
$x_1\in B_1\cap A-\{x\}$ จากคุณสมบัติ basis $B_2\subseteq B_1$ , we have
$x_2\in B_2\cap A-\{x\}$
เนื่องจาก x $\epsilon $ X and x เป็นเซตนับได้
Thus $x_n\in B_n\cap A-\{x\}$

ได้หรือป่าวครับ

ง่ะ 2 ชั่วโมงผ่านไป ไม่มีใครมาช่วยตอบเลย

ผมจะส่งทันมั้ยเนี่ย T_T

[patong]

ไม่มาพิสูจน์ให้แถวยังมากวนอีกนะอาท ฉันทำมะได้หว่ะ

[nooonuii]

ที่ผมแนะนำไปมันก็ครบถ้วนทุกอย่างแล้วล่ะครับ เหลือแค่นำไปเรียบเรียงให้มันอ่านแล้วเข้าใจแค่นั้นเอง

ซึ่งผมคิดว่าเหลือไว้ให้ทำเองบ้างคงจะดีกว่า ถึงเวลาทำข้อสอบก็ไม่มีใครมาทำข้อสอบให้เราอยู่ดีแหละครับ

[ArtnacluB]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ArtnacluB

Proof: Let x $\epsilon $ X if and only if V ⋂ {A-{x}} $\not= $ $\oslash $
Assume that $V=B_1$ is basis element x , we have
$x_1\in B_1\cap A-\{x\}$ จากคุณสมบัติ basis $B_2\subseteq B_1$ , we have
$x_2\in B_2\cap A-\{x\}$
เนื่องจาก x $\epsilon $ X and x เป็นเซตนับได้
Thus $x_n\in B_n\cap A-\{x\}$

ได้หรือป่าวครับ

ง่ะ 2 ชั่วโมงผ่านไป ไม่มีใครมาช่วยตอบเลย

ผมจะส่งทันมั้ยเนี่ย T_T

ไม่ทราบว่า ต้องแก้ ตรงไหนบ้างอ่าครับ เพราะ จริงๆ ผมก็ว่า ยังไม่ใช่หรอก เพราะอ่านแล้ว มันขัดๆ แต่ก็ไม่รู้จะเอาอะไรมาใส่ มาเพิ่ม งง มาก ใช้คำไม่เป็น

แต่ก็ขอบคุณ คุณ nooonuii มากนะครับ ที่ สละ เวลา ส่วนตัว มาช่วยตอบคำถาม ขอบคุณมากครับ