อยากทราบ เกี่ยวกับสมการกำลังห้าขึ้นไป

[Donovan]

อยากทราบเกี่ยวกับทฤษฏี ที่ Evariste คิดได้น่ะคับ ที่บอกว่า สมการกำลังห้าขึ้นไป ไม่มีสูตรในการหาคำตอบ

ได้ หรืออาจจะหาคำตอบได้สำหรับบางสมการเท่านั้น ช่วยบอกวิธีการพิสูจน์หน่อยคับ ว่าเป็นไงมาไง


ขอบคุงคับ

[nongtum]

การพิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าว(Abel-Ruffini theorem)หลักๆอาศัยความจริงที่ว่า symmetric Groups $S_n$ solvable สำหรับ n=1,2,3,4 ครับ (เพราะ $S_{n\ge5}$ มี simple noncyclic normal subgroup) ที่เหลือลองกูเกิล Keyword ด้านบนและคำว่า Solvable by radicals ดูครับ

[nooonuii]

ในปี 1799 Paolo Ruffini พยายามที่จะหาตัวอย่างค้านของพหุนามกำลังห้าที่ไม่ solvable by radical ครับแต่ก็ยังไม่เพียงพอจนในที่สุด Niels Henrik Abel ก็มาพิสูจน์ได้ในปี 1824 ครับว่ามีพหุนามกำลังห้าที่ไม่ solvable by radical จริง สุดท้ายในปี 1832 Galois ก็พิสูจน์ว่าพหุนามกำลังตั้งแต่ห้าขึ้นไปจะไม่ solvable by radical ตอนที่ Galois คิดบทพิสูจน์ได้ Group theory ยังไม่เกิดเลยครับ(อันที่จริงคำว่า "Group" Galois นั่นแหละเป็นคนตั้งขึ้นมาเอง) แต่วิธีการที่ Galois ใช้ก็คือการพิจารณา Group ของการเรียงสับเปลี่ยนของรากของพหุนามนั่นเอง Galois จึงได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ให้กำเนิด Group Theory ครับ แต่นิยามของ Group แบบ Axiomatic ที่เราใช้กันในปัจจุบันนั้นเป็นของ Sir Arthur Cayley ซึ่งนิยามนี้ใช้เมื่อ ปี 1854 ก่อนนี้เราเรียก Group Theory ว่า Theory of Substitution ครับ

สำหรับการพิสูจน์ว่าพหุนามกำลังมากกว่าห้าไม่ solvable by radical นั้นเราจะพิจารณาจาก Galois group ของแต่ละพหุนามว่าเป็น Solvable group หรือไม่ ซึ่งการพิสูจน์นั้นทำได้โดยการหาตัวอย่างพหุนามซึ่งมี Galois group เป็น $S_n$ ก็เพียงพอเนื่องจาก $S_n$ ไม่เป็น solvable group สำหรับ $n\geq 5$ ตามที่คุณ nongtum ได้บอกไปแล้ว ตัวอย่างเช่น พหุนาม $2x^5 - 10x + 5$ จะมี Galois group เป็น $S_5$ ครับ

[kongp]

ไม่มีสูตรก็ต้องมีอัลกอริทึมเพราะโปรแกรม Maple คำนวนได้.