ช่วยบอกวิธีทำโจทย์หน่อยคะ

[Mz.volaz]

ข้อ1 $(1^2+2^2+3^2+...+50^2)$




ข้อ2 $3^x+3=10(\frac{3^{2x}}{3})$ จงหาผลบวกของคำตอบ


ช่วยเฉลยวิธีคิดให้หน่อยนะคะ

ขอบคุณคะ

[nong_jae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mz.volaz

ข้อ1 $(1^2+2^2+3^2+...+50^2)$




ข้อ2 $3^x+3=10(\frac{3^{2x}}{3})$ จงหาผลบวกของคำตอบ


ช่วยเฉลยวิธีคิดให้หน่อยนะคะ

ขอบคุณคะ

ข้อ 1 ใช้สูตร $1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
ได้ $1^2+2^2+3^2+...+50^2$
$=\frac{(50)(51)(101)}{6}$
$=42925$

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nong_jae

ข้อ 1 ใช้สูตร $1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
ได้ $1^2+2^2+3^2+...+50^2$
$=\frac{(50)(51)(101)}{6}$
$=42925$

มีสูตร ยกกำลัง 3 มั้ยครับ

[ไซโคลน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mz.volaz

ข้อ2 $3^x+3=10(\frac{3^{2x}}{3})$ จงหาผลบวกของคำตอบ

ถ้าให้$k=3^x$
แทนค่า $k+3=10(\frac{k^2}{3})$ คูณ3ทั้งสมการ $10k^2-3k-9=0$
ใช้สูตร ได้ $k=3(\frac{1\pm\sqrt{41}}{20})$ แทนค่าk ; $3^x=3(\frac{1\pm\sqrt{41}}{20})$
แล้วทางมันตันตรงนี้แหละครับรบกวนช่วยตั้งโจทย์ให้มันไปแนวนี้ทีมันไปต่อไม่ได้

[คusักคณิm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

มีสูตร ยกกำลัง 3 มั้ยครับ

$1^3+2^3+3^3+ \ldots +n^{3}=\frac{1}{4}[n(n+1)]^{2}=(1+2+3+ \ldots +n)^{2}$

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

$1^3+2^3+3^3+ \ldots +n^{3}=\frac{1}{4}[n(n+1)]^{2}=(1+2+3+ \ldots +n)^{2}$

เอาสูตรมาจากไหนครับ

[คusักคณิm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

เอาสูตรมาจากไหนครับ

การสังเกตครับ

[nong_jae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

เอาสูตรมาจากไหนครับ

พิสูจน์
ใช้เอกลักษณ์ $(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$
$k=1, 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1$
$k=2, 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1$
$k=3, 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1$

$k=n, (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1$

บวกแต่ละข้างของสมการเข้าด้วยกัน
$LHS=(2^4-1^4)+(3^4-2^4)+(4^4-3^4)+...+[(n+1)^4-n^4]$
$=(n+1)^4-1^4$

$RHS=4(1^3+2^3+3^3+...+n^3)+\frac{6n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{4n(n+1)}{2}+n$
ดังนั้น $4(1^3+2^3+4^3+...+n^3)=(n+1)^4-1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n$
$=(n+1)[(n+1)^3-n(2n+1)-2n-1]$

$=n^2(n+1)^2$
ดังนั้น $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{[n(n+1)]^2}{4}$

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nong_jae

พิสูจน์
ใช้เอกลักษณ์ $(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$
$k=1, 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1$
$k=2, 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1$
$k=3, 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1$

$k=n, (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1$

บวกแต่ละข้างของสมการเข้าด้วยกัน
$LHS=(2^4-1^4)+(3^4-2^4)+(4^4-3^4)+...+[(n+1)^4-n^4]$
$=(n+1)^4-1^4$

$RHS=4(1^3+2^3+3^3+...+n^3)+\frac{6n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{4n(n+1)}{2}+n$
ดังนั้น $4(1^3+2^3+4^3+...+n^3)=(n+1)^4-1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n$
$=(n+1)[(n+1)^3-n(2n+1)-2n-1]$

$=n^2(n+1)^2$
ดังนั้น $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{[n(n+1)]^2}{4}$

ขอบคุณครับ สำหรับทุกข้อความ