อสมการ อาเบล

[ไอ้ลูกระเบิด]

ช่วยด้วยครับอยากได้บทพิสูจน์ อสมการอาเบล หน่อยครับ

[nooonuii]

อยากได้ version ไหนครับ

จำนวนจริง

จำนวนเชิงซ้อน

ถ้าจะให้ตรงตามที่ต้องการจริงๆขอตัวอสมการที่จะต้องพิสูจน์ด้วยครับ

[ไอ้ลูกระเบิด]

จำนวนจริงก็พอครับคือปัญหาเขาให้ผมพิสูจนอสมการอาเบลครับคิดอยู่นานเเล้วก็ไม่ออกจะหาบทพิสูจน์มาอ่านก็หายากจัง

[nooonuii]

ผมยังไม่เห็นตัวอสมการว่าหน้าตาเป็นยังไง ก็เลยเอาแบบที่ผมรู้จักมาให้ดูว่าใช่มั้ย

Abel's inequality : ให้ $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n$ เป็นจำนวนจริงโดยที่ $b_1\geq b_2\geq\cdots\geq b_n\geq 0$

นิยามให้ $S_1=a_1,S_2=a_1+a_2,...,S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$

และ $m=\min\{S_1,S_2,...,S_n\},M=\max\{S_1,S_2,...,S_n\}$

จะได้ว่า $$mb_1\leq a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\leq Mb_1$$

พิสูจน์ ใช้เทคนิคที่มีชื่อเรียกว่า Summation by parts

$a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=S_1b_1+(S_2-S_1)b_2+\cdots+(S_n-S_{n-1})b_n$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(b_1-b_2)S_1+(b_2-b_3)S_2+\cdots+(b_{n-1}-b_n)S_n$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq (b_1-b_2)M+(b_2-b_3)M+\cdots+(b_{n-1}-b_n)M$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=Mb_1$

อีกอสมการก็ลอกแบบกันมาเลย

[ไอ้ลูกระเบิด]

อันนี้เเหละครับขอบคุณมากครับ