ข้อนี้เคยมีใครเล่นแล้วบ้างครับ

[TimeTimeFruit]

กำหนดให้ $a , b , c \not= 0$ และเป็นไปดังสมการ

$a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}$

จงหาค่าของ $\left|\,abc\right|$

ผมอ่านเฉลยแล้วไม่ค่อยเข้าใจ ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[TimeTimeFruit]

ข้อนีด้วยครับ

จงหาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่ทำให้
$$\frac{8^x+27^x}{12^x+18^x} = \frac{7}{6}$$
ปล.โทษทีครับ มือใหม่หัดใช้ LaTex

[หยินหยาง]

ไม่เคยเล่นข้อนี้ครับแต่ให้หาวิธีทำก็พอไหวครับ
ข้อ1 . เอาเฉลยมาถามดีกว่ามั้ยครับว่าไม่เข้าใจตรงไหน เพราะถ้าโจทย์เป็นตามที่ว่า ค่าของ $\left|\,abc\right|$ มีได้หลายค่า เช่น 1 หรือ 8 หรือ 27 ก็ได้ครับ ชอบคำตอบไหนก็เลือกได้เลยครับ
ข้อ 2. พยายามจัดให้อยู่ในรูปของ $(\frac{2}{3} )^x$ ถ้ามาถูกทางคำตอบที่ได้ คือ $\pm 1$

[TimeTimeFruit]

เฉลยมันประมาณว่า สมมติให้ $a+\frac{1}{b} = X , b+\frac{1}{c} = Y , c+\frac{1}{a} = Z$
จะได้ว่า $X=Y=Z$ ซึ่งหากพิจารณาสมการทีละคู่ (ให้ X=Y,Y=Z,X=Z)
แล้วนำมาแทนค่ากันให้เหลือสมการเดียว จะได้ว่า $\left(abc\,\right) ^2=1$ หรือก็คือ $\left|abc\,\right|=1$ นั่นเอง

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

เฉลยมันประมาณว่า สมมติให้ $a+\frac{1}{b} = X , b+\frac{1}{c} = Y , c+\frac{1}{a} = Z$
จะได้ว่า $X=Y=Z$ ซึ่งหากพิจารณาสมการทีละคู่ (ให้ X=Y,Y=Z,X=Z)
แล้วนำมาแทนค่ากันให้เหลือสมการเดียว จะได้ว่า $\left(abc\,\right) ^2=1$ หรือก็คือ $\left|abc\,\right|=1$ นั่นเอง

ผมให้หลักคิดง่ายๆในการดูว่าจะมีคำตอบหรือไม่หรือมีหลายคำตอบสำหรับข้อนี้ ลองให้ $a=b=c \not= 0$ ดูครับ โจทย์ข้อนี้ก็ยังเป็นจริงตามเงื่อนไขโจทย์ แสดงว่าเราสามารถกำหนดให้ a เป็นอะไรก็ได้ คำตอบก็จะเปลี่ยนไป $\left|a^3\,\right|$ ผมคุ้นกับโจทย์ข้อนี้ว่าน่าจะมีเงื่อนไขอื่นอีกครับ

[TimeTimeFruit]

ขอโทษพี่จริงๆครับ ผมไม่รอบคอบเอง โจทย์มันว่า

"Let a ,b and c distinct nonzero real number such that ...."

ขอบคุณพี่มากนะครับ ต่อไปผมจะระวังมากขึ้น

แล้วถ้าเพิ่มเงื่อนไขที่ว่านี้ลงไปด้วย จะมีวิธีทำยังไงเหรอครับ

[หยินหยาง]

ถ้าเป็นอย่างที่ว่า ก็ทำอย่างที่เค้าเฉลยครับ จะสามารถหาค่า x ที่เป็นไปได้ แล้วนำมาหาค่า a, b, c ที่แตกต่างกันครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

กำหนดให้ $a , b , c \not= 0$ และ a, b, c เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน เป็นไปดังสมการ

$a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}$

จงหาค่าของ $\left|\,abc\right|$

ผมอ่านเฉลยแล้วไม่ค่อยเข้าใจ ช่วยอธิบายหน่อยครับ

นำ abc คูณตลอดจะได้

$a^2bc + ac = ab^2c + ab = abc^2 + bc$

จับสองคู่แรกเท่ากันจะได้

abc(a-b)-a(b-c) = 0

bc(a-b) = (b-c) ...(1)

ในทำนองเดียวกับคู่อื่น ๆ จะได้

ab(a-c) = b-a ...(2)
ac(b-c) = c-a ...(3)

นำสมการทั้งสามมาคูณกันได้

$a^2b^2c^2(a-b)(a-c)(b-c) = (b-c)(b-a)(c-a)$

$(a-b)(b-c)(c-a)(a^2b^2c^2-1) = 0$

ถ้า a - b = 0 จะได้ a = b = c เป็นไปไม่ได้ และ b - c, c - a ก็เป็นศูนย์ไม่ได้ในทำนองเดียวกัน

ดังนั้น $a^2b^2c^2 = 1$

[TimeTimeFruit]

ขอบคุณครับ (ตอนนี้กำลังพยายามทำข้อ 2 อยู่ครับ )

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

ขอบคุณครับ (ตอนนี้กำลังพยายามทำข้อ 2 อยู่ครับ )

hint:นำ$18^x$ หารทั้งเศษและส่วนของข้างซ้ายครับ

[TimeTimeFruit]

ตอนนี้ได้แล้วครับ ขอบคุณมากครับ