เซต *

[-Math-Sci-]

มีโจทย์มาฝากครับ

1.กำหนดให้

A={a} , B ={$\varnothing$ ,b}, C ={$\varnothing$,a,b,c,d,e,f}จำนวนของเซต X โดยที่ $A \cup B \not\subset X$ และ

$X\subset A \cup B \cup C $ มีจำนวนเท่าไร (112 เซต)

2. กำหนดให้ A = {$\varnothing$,{$\varnothing$},2,{$\varnothing$,{2},{$\varnothing$,2}}}

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. {2,{$\varnothing$},{$\varnothing$,{2}}} $\subset$ A

ข. {$\varnothing$,{2},{$\varnothing$,2}}$\in$ P(A)

ค. {$\varnothing$,{{$\varnothing$}},{$\varnothing$,{$\varnothing$},2}}$\subset$ P(A)

ง. {{$\varnothing$}} เป็นสับเซตแท้ของ A

มีข้อความที่เป็นจริงทั้งหมดกี่ข้อ (3 ข้อ)

[กิตติ]

ข้อแรกผมว่าต้องใช้การจัดหมู่ด้วยก็ดี หรือใช้การแก้โจทย์แบบสามัญสำนึกก็ได้
ลองเขียน$A\cup B = \left\{\,a,b,\varnothing \right\} $
สำหรับ$A\cup B\cup C = C$ เพราะว่า$A\subset C$ และ$B\subset C$
$A\cup B\cup C = C = \left\{\,\varnothing ,a,b,c,d,e,f\right\} $
กำหนดให้ $A \cup B \not\subset X$ และ $X\subset A \cup B \cup C $
เราจะสร้างเซต$X$ได้จากสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ $A \cup B \cup C $ แต่$A \cup B$ไม่เป็นสมาชิกของ$X$

เอาวิธีง่ายๆก่อนเลย ก็จัดตามจำนวนสมาชิกของเซต
1.มีสมาชิก1 ตัว....เลือกจาก$\left\{\,a,b,\varnothing,c,d,e,f\right\} $ ได้ 7 เซต
เพราะ$X=\left\{\,a\right\},\left\{\,b\right\} ,\left\{\,\varnothing \right\} \subset A \cup B \cup C $ แต่$A\cup B \not\subset X$
2.มีสมาชิก 2ตัว....แบ่งเป็น
2.1ตัวหนึ่งมาจาก$\left\{\,a,b,\varnothing \right\} $ และอีกตัวมาจาก$\left\{\,c,d,e,f\right\} $
ได้เท่ากับ $3\times 4 = 12$ เซต
2.2ทั้งสองตัวมาจาก$\left\{\,c,d,e,f\right\} $ ได้เท่ากับ$6$ เซต
3.มีสมาชิก 3ตัว....แบ่งเป็น
3.1สองตัวมาจาก$\left\{\,a,b,\varnothing \right\} $ และอีกตัวมาจาก$\left\{\,c,d,e,f\right\} $
...นั่งทำแล้วท่าทางจะยาวและยุ่งยากมากขึ้นเมื่อจำนวนสมาชิกมากขึ้นเรื่อยๆ ถ้าต้องทำไปจนถึงสมาชิก7ตัว ผมคงตายไปก่อน
วิธีที่ลัดกว่าคือเรารู้แล้วว่าจำนวนเซตที่เป็นสับเซตของ$A\cup B\cup C = 2^7$ เซต ในจำนวนทั้งหมดจะมีทั้งเซตที่มี$A\cup B$เป็นสับเซตกับเซตที่ไม่มี$A\cup B$เป็นสับเซต
$2^7=$ เซตที่มี$A\cup B$เป็นสับเซตกับเซตที่ไม่มี$A\cup B$เป็นสับเซต
จำนวนเซตที่มี$A\cup B$เป็นสับเซต$ = 16$
เราสร้างเซตนี้โดยมีสมาชิกเริ่มต้นคือ $ \left\{\,a,b,\varnothing \right\} $ จากนั้นหยิบสมาชิกเพิ่มมาจาก$\left\{\,c,d,e,f\right\} $ โดยหยิบตั้งแต่ไม่เลือกเลยซึ่งก็คือ$A\cup B$นั่นเอง ต่อมาคือหยิบทีละ1,ทีละ2,ทีละ3และทีละ4 ซึ่งเรามีสูตรว่าเราเลือกหยิบของ$n$ชิ้นโดยเลือกหยิบ 0 ชิ้น,1ชิ้น,2ชิ้น,...,ไปจนถึง$n$ชิ้น จะเลือกได้ทั้งหมด$2^n$ ดังนั้นเราจึงได้ทั้งหมด$2^4 = 16$เซต

จำนวนเซตที่ไม่มี$A\cup B$เป็นสับเซต$2^7- 16 =128-16 = 112$

[Siren-Of-Step]

ถ้าใช้สูตร รูปแบบทั่วไปคือ
กำหนดให้$ A,B,X$ เป็นเซตใดๆ ถ้า $A\not\subset X\subset B$
จำนวนสับเซตของ $X$ จะเท่ากับ $2^{n(B)} - 2^{n(B)-n(A)}$ เซต

แทนค่าลงไปจะได้ว่า $2^7 - 2^{7-3} = 128 - 116 = 112$ เซต

[poper]

ข้อ 2 ผมได้ 2 ข้ออ่ะครับ
ก. $\{2,\{∅\},\{∅,\{2\}\}\}\subset A$
$\therefore 2,\{∅\},\{∅,\{2\}\}\in A$ ผิดเพราะ $\{∅,\{2\}\}\not\in A$
ข. $\{∅,\{2\},\{∅,2\}\}\in A$
$\therefore \{∅,\{2\},\{∅,2\}\}\not\in P(A)$ ข้อนี้ก็ผิด
ค. $\{∅,\{\{∅\}\},\{∅,\{∅\},2\}\}\subset P(A)$
$\therefore ∅,\{\{∅\}\},\{∅,\{∅\},2\}\in P(A)$ ถูกต้อง
ง. $\{\{∅\}\}$ เป็นสับเซตแท้ของ A ถุกต้อง

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ข้อ 2 ผมได้ 2 ข้ออ่ะครับ
ก. $\{2,\{∅\},\{∅,\{2\}\}\}\subset A$
$\therefore 2,\{∅\},\{∅,\{2\}\}\in A$ ผิดเพราะ $\{∅,\{2\}\}\not\in A$
ข. $\{∅,\{2\},\{∅,2\}\}\in A$
$\therefore \{∅,\{2\},\{∅,2\}\}\not\in P(A)$ ข้อนี้ก็ผิด
ค. $\{∅,\{\{∅\}\},\{∅,\{∅\},2\}\}\subset P(A)$
$\therefore ∅,\{\{∅\}\},\{∅,\{∅\},2\}\in P(A)$ ถูกต้อง
ง. $\{\{∅\}\}$ เป็นสับเซตแท้ของ A ถุกต้อง

ใช่ครับ ผมก็ได้ 2 ข้อ เหมือนกัน

เลยไม่แน่ใจว่าเฉลยผิดรึเปล่า ?