โจทย์ปัญหา...ชิลด์...ชิลด์...สำหรับม.ต้น

[กิตติ]

เช้านี้ไปยืนอ่านข้อสอบฉบับหนึ่งในร้านหนังสือเห็นว่าน้องๆในห้องนี้น่าจะทำได้ เลยจำเอามาถาม ยังไม่บอกว่าเป็นข้อสอบอะไร ช่วยกันทำหน่อยครับ
1.กำหนดให้$p>0$ และ $p^2+\frac{1}{p^2}=7 $ จงหาค่าของ$p+\frac{1}{p} $
2.ให้$r_1,r_2,r_3,r_4$เป็นรากของสมการ$x^4-4x^2+2=0$ จงหาค่าของ$(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)(1+r_4)$
3.ถ้าสมการ$x^2+Bx+2=0$มีคำตอบเพียงตัวเดียว จงหาผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ$\left|\,B\right| $
4.จงหาผลบวกของ$4+\frac{1}{2} +\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{n}{2^n}+... $
5.จงหาค่าต่ำสุดของ$x^2-2y-1=0$ เมื่อ$x-y=1$
เมื่อมีคนเฉลยครบแล้วจะบอกว่าเป็นข้อสอบอะไร

[Siren-Of-Step]

ข้อน่าสนใจละกัน
ข้อ 4 น่าจะ 6 นะ
ข้อ 5 ถ้าในขอบเขตจำนวนจริง ตอบ 0 ครับ เกิดขึ้นเมื่อ y=0 x=1

[กิตติ]

ข้อ4ถูกแล้วครับ
ข้อ5ยังไม่ถูกครับ
ข้อ2....ถ้าใครจะลองแก้สมการก็ได้ครับ แต่ในMCเคยมีคนเฉลยวิธีลัดไปแล้ว ไม่เกิน4บรรทัด เทียบกับนั่งแก้สมการแถมอาจต้องไปยุ่งกับจำนวนเชิงซ้อน
ดูได้ในช่วยคิดเรื่องผลคูณของรากของสมการหน่อยนะ
กับในกระทู้นี้ โจทย์ชวนคิด ที่น่าทำ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

1.กำหนดให้$p>0$ และ $p^2+\frac{1}{p^2}=7 $ จงหาค่าของ$p+\frac{1}{p} $

$p^2+\frac{1}{p^2}=7$

$p^2+2+\frac{1}{p^2}=7+2$

$(p+\frac{1}{p})^2 = 9$

$(p+\frac{1}{p}) = 3 , -3$

แต่ p > 0 $\therefore (p+\frac{1}{p}) = 3$

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

5.จงหาค่าต่ำสุดของ$x^2-2y-1=0$ เมื่อ$x-y=1$
เมื่อมีคนเฉลยครบแล้วจะบอกว่าเป็นข้อสอบอะไร

ลองดูนะครับ

$x^2-2y-1 = 0$ เืมื่อ $x-y=1$

$x = y+1$

$(y+1)^2 -2y - 1 = 0$

$y^2+2y+1-2y-1 =0$

$y^2 = 0$

$y = 0$

$x = 0+1 = 1 $

$\therefore x = 1 $ $y = 0$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

ลองดูนะครับ

$x^2-2y-1 = 0$ เืมื่อ $x-y=1$

$x = y+1$

$(y+1)^2 -2y - 1 = 0$

$y^2+2y+1-2y-1 =0$

$y^2 = 0$

$y = 0$

$x = 0+1 = 1 $

$\therefore x = 1 $ $y = 0$

ตอนแรก สะเพร่าไป ตอบใหม่ อา เขาบอกว่าไม่ถูกอะครับ

[กิตติ]

ข้อ 5 ตอบ 0 ครับ....ปรับ$x^2-2y-1=0$ ให้อยู่ในรูปของ$x$ จะได้สมการพาราโบลาหรือในม.ต้นเรียกว่า สมการกำลังสอง เป็น
$x^2-2x+1$ คือ $(x-1)^2$ซึ่งมีค่าต่ำสุดคือ 0

ตอนแรกตอบว่า 1 เลยบอกว่ายังไม่ถูกครับ พอกลับมาดูคำตอบใหม่ก็ถูกแล้วครับ

ข้อ1ถูกแล้วครับ
น้องๆครับ คืนนี้ขอตัวก่อนครับ เจ้าตัวเล็กร้องไห้แล้วครับ พรุ่งนี้ถ้าเฉลยครบจะบอกว่าเป็นข้อสอบอะไร

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 5 ตอบ 0 ครับ....ปรับ$x^2-2y-1=0$ ให้อยู่ในรูปของ$x$ จะได้สมการพาราโบลาหรือในม.ต้นเรียกว่า สมการกำลังสอง เป็น
$x^2-2x+1$ คือ $(x-1)^2$ซึ่งมีค่าต่ำสุดคือ 0

ตอนแรกตอบว่า 1 เลยบอกว่ายังไม่ถูกครับ พอกลับมาดูคำตอบใหม่ก็ถูกแล้วครับ

ข้อ1ถูกแล้วครับ
น้องๆครับ คืนนี้ขอตัวก่อนครับ เจ้าตัวเล็กร้องไห้แล้วครับ พรุ่งนี้ถ้าเฉลยครบจะบอกว่าเป็นข้อสอบอะไร

ผมก็ตกใจนึกว่าคิดผิดซะนี่ 55

[Dark matter]

ข้อ2ตอบเท่าไรครับ
ผมได้-1จากวิธีที่คุณกิตติแนะนำ
ข้อ3ผมได้16อะครับ

ขอเฉลยข้อ4ด้วยครับ

[กิตติ]

เพิ่งเอาเจ้าตัวเล็กเข้านอน คงมีเวลาสักหน่อยครับ
ข้อ4...แยกหา$\frac{1}{2} +\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{n}{2^n}+... $ก่อน ให้วิธีที่ลุงBankerชอบทำให้ดู
ให้$S=\frac{1}{2} +\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+... $........(1)
(1)$\times \frac{1}{2}$ จะได้ว่า $\frac{1}{2} S= \frac{1}{2^2} +\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+... $......(2)
(1)-(2) $\frac{1}{2} S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+... $...(3)
(3)$\times \frac{1}{2}$ จะได้ว่า $\frac{1}{4} S=\frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+... $...(4)
(3)-(4) $\frac{1}{4} S= \frac{1}{2} \rightarrow S=2$......ใช้วิธีแบบม.ต้น ถ้าเป็นม.ปลายมีสูตรหาอนุกรมอนันต์เรขาคณิตอยู่
ดังนั้นข้อนี้ตอบ$4+2=6$

[กิตติ]

ข้อ 2....น่าจะถูกแล้วครับ
เราให้$f(x)= x^4-4x^2+2 =(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)$
แทน$x = -1$ จะได้ว่า$(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)(1+r_4) = f(-1) = -1$

[กิตติ]

ขอแก้โจทย์ข้อ3 เป็น$ x^2+Bx+2=0$ ผมจดมาผิด
ค้างข้อ3....พรุ่งนี้จะเฉลยว่าเป็นข้อสอบอะไร

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ช่วยกันทำหน่อยครับ เมื่อมีคนเฉลยครบแล้วจะบอกว่าเป็นข้อสอบอะไร

3.ถ้าสมการ$x^2+Bx+2=0$ มีคำตอบเพียงตัวเดียว จงหาผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ$\left|\,B\right| $

มีคำตอบเพียงตัวเดียว แสดงว่า $B^2-4(1)(2)=0$ หรือ $B^2 = 8$ จะได้ว่า $B = \pm \sqrt{8}$

ดังนั้น ผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ$\left|\,B\right| $ คือ 8 ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

2.ให้$r_1,r_2,r_3,r_4$เป็นรากของสมการ$x^4-4x^2+2=0$ จงหาค่าของ$(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)(1+r_4)$

ถ้าจำเอกลักษณ์ได้ ก็หมูแล้วครับ

$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$
$ = a b c d - a b c x - a b d x + a b x^2 - a c d x + a c x^2 + a d x^2 - a x^3 - b c d x + b c x^2 + b d x^2 - b x^3 + c d x^2 - c x^3 - d x^3 + x^4$

$= x^4 -(a+b+c+d)x^3 +(ab+ac+bc+cd+bd+ad)x^2 - (abc+abd+acd+bcd)x + abcd$


$(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)$
$ = a b c d + a b c + a b d + a b + a c d + a c + a d + a + b c d + b c + b d + b + c d + c + d + 1$

$ = (a+b+c+d) + (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+(abc+abd+acd +bcd) +abcd +1$

โดยการเทียบ สปส.

$(a+b+c+d) = 0 $

$(ab+ac+ad+bc+bd+cd) = -4$

$(abc+abd+acd+bcd) = 0$

$abcd = 2$


$(a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = 0+(-4)+0+2+1 = -1$

ตอบ ค่าของ$(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)(1+r_4) = -1 $

[กิตติ]

ขอบคุณทุกท่านที่เข้ามาเฉลย....ลุงBanker ท่านPuriwatt น้องSiren น้องMath-Sci และคุณDark_matter เฉลยครบและถูกต้องหมดแล้ว
ข้อ1-4 เป็นข้อสอบตรงหรือ เรียกว่าโควต้าภาคเหนือ เข้าเรียนมช.ปี 2553 เป็นข้อสอบคณิตศาสตร์1 สำหรับสายวิทย์
ข้อ 5. เป็นข้อสอบตรง โควต้าภาคเหนือ เข้าเรียนมช.ปี 2553 ของคณิตศาสตร์ 2 สำหรับสายศิลป์ จริงๆมีอีกสองข้อแต่กลัวจะเกินระดับ คือ
-จงหาเลขคี่บวกที่มี 4 หลัก
-จงหาผลบวกของ $4, -2 ,1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8} ,\frac{1}{16} ,... $

พอดีผมเห็นข้อสอบแล้วตกใจว่า ข้อสอบระดับนี้มันหลุดไปเป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยได้ด้วย ทั้งๆที่เราทำกันในMCระดับม.ต้นจนทะลุไปแล้ว อย่าว่างั้นว่างี้เลยสมัยผมสอบโควต้าคณิตศาสตร์นี่เอาเรื่องใช่เล่น เห็นข้อสอบเข้าตรงปีที่ผ่านมาแล้วยิ้มเลยครับ....น้องเราในMCช่วยเฉลยได้