โจทย์สนุกๆมาฝากอีกครับ (พีชคณิตและ เรขาคณิต)

[drwut]

1. กำหนดให้ a＋b＋c＝5， bc＋ca＋ab＝8， abc＝3 จงหา $b^3c^3＋c^3a^3＋a^3b^3＝？$

2. จากรูปสิบแปดเหลี่ยมด้านเท่า ลากเส้นสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าดังรูป ถ้าด้านของสิบแปดเหลี่ยมด้านเท่า มีความยาว 1 หน่วย จงหาความยาวของด้านสามเหลี่ยมด้านเท่า



3. ห้าเหลี่ยม ABCDE แนบในวงกลม โดยมี AB＝AE＝3，BC＝CD＝DE＝2 จงหาว่าอัตราส่วนระหว่างพื้นที่
　△BCD และ ABCDE

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ drwut

2. จากรูปสิบแปดเหลี่ยมด้านเท่า ลากเส้นสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าดังรูป ถ้าด้านของสิบแปดเหลี่ยมด้านเท่า มีความยาว 1 หน่วย จงหาความยาวของด้านสามเหลี่ยมด้านเท่า

ความยาวของด้านสามเหลี่ยมด้านเท่า = $\sqrt{3} $

[LightLucifer]

ข้อ 1
$a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=(ab+bc+ca)((ab+bc+ca)^2-3abc(a+b+c))+3(abc)^2$

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อ 1
$a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=(ab+bc+ca)((ab+bc+ca)^2-3abc(a+b+c))+3(abc)^2$

คิดอย่างไรถึงได้อย่างนั้นละครับ
แล้ว โลลิคอนคืออะไรครับ?

[กิตติ]

ขอเดาโจทย์ข้อแรกว่า

1. กำหนดให้ $a+b+c=5, \quad bc+ca+ab=8, \quad abc=3 $ จงหา $b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3=?$

[คนอยากเก่ง]

แล้วจัดรูป ให้เป็นอย่างนั้นอย่างไรครับ

[LightLucifer]

#6
ใช้ $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz$ ครับ

ข้อ 2 ผมได้ $\frac{161}{18}$ อ่ะครับ ช่วยเช็คทีครับ

ผมลองไล่ๆสามเหลี่ยมคล้ายตามรูปดูน่ะครับ

[กิตติ]

1. กำหนดให้ $a+b+c=5, \quad bc+ca+ab=8, \quad abc=3 $ จงหา $b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3=?$

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} ) =\frac{bc+ca+ab}{abc} = \frac{8}{3} $

$(bc+ca+ab)^2=8^2$

$b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2 =64-2abc(a+b+c) = 64-2(3)(5) = 64-30 =34$

$(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)(bc+ca+ab) = 34\times 8 = 272$

$b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3= 272-(abc)^2\left\{\,(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} )-3\right\} $
$= 272-(3)^2\left\{\,(5)(\frac{8}{3})-3\right\} $
$=272-93 = 200-21 = 179$

ตอบ $179$

[drwut]

เอารูปสวยๆมาฝาก

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} ) =\frac{bc+ca+ab}{abc} = \frac{8}{3} $

$(bc+ca+ab)^2=8^2$

$b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2 =64-2abc(a+b+c) = 64-2(3)(5) = 64-30 =34$

$(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)(bc+ca+ab) = 34\times 8 = 272$

$b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3= 272-(abc)^2\left\{\,(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} )-3\right\} $
$= 272-(3)^2\left\{\,(5)(\frac{8}{3})-3\right\} $
$=272-93 = 200-21 = 179$

ตอบ $179$

ถามหน่อยครับ จัดรูปได้เร็วมีวิธีอะไรอะครับ

[กิตติ]

ช่วงนี้ผมทำโจทย์แนวนี้บ่อยครับเลยกระจายได้คล่องครับ
ที่เห็นว่าสั้นนั้นเพราะตัดตอนออกไปครับ ขี้เกียจพิมพ์ครับ
ไม่มีวิธีอะไรที่พิเศษครับ

[nooonuii]

ถ้าจะให้เร็วแบบมีระเบียบหน่อยก็สูตรลดทอนของนิวตันครับ

$x^n+y^n+z^n=(x+y+z)(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})-(xy+yz+zx)(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2})+xyz(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3}),n\geq 3$

ในที่นี้ให้ $x=ab,y=bc,z=ca$

จะได้

$x+y+z=ab+bc+ca=8$

$xy+yz+zx=abc(a+b+c)=15$

$xyz=(abc)^2=9$

ดังนั้น

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=34$

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)(x+y+z)+xyz(1+1+1)=(8)(34)-(15)(8)+(9)(3)=179$

$x^4+y^4+z^4=(x+y+z)(x^3+y^3+z^3)-(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)+xyz(x+y+z)=994$

และสามารถคำนวณต่อไปได้เรื่อยๆ

[คนอยากเก่ง]

ขอบคุณมากครับ