Integration problem

[passer-by]

ถ้าไม่ ตั้งหารทื่อๆ แล้ว อินทิเกรตตรงๆ จะมีวิธีอื่นในการอินทิเกรด คำถามข้างล่างนี้มั้ยครับ

$\int_{0}^{1} \frac{t^{4}(1-t)^{4}}{1+t^{2}}dt $
(Source: Mathematical scholarship problems book)

ผมลองมาหลายวิธี จนมึนไปหมดแล้วครับ

หมายเหตุ : คำตอบข้อนี้สวยมากๆ

[M@gpie]

ผมลองๆดูแล้วก็ ไม่ได้ง่ายกว่าเอาหารตรงๆเท่าไรเลยคับ คือพยายามทำให้ตัวเศษมีเทอมของ \( t^2+1 \) ได้มากที่สุด ได้ผลเหมือนกัน
\( \int_0^1 \frac{t^4(1-t)^4}{1+t^2} dt \)
\(= \int_0^1 \frac{t^4[(t^2+1) - 2t]^2}{1+t^2} dt \)
\(= \int_0^1 \frac{t^4[(t^2+1)^2 - 4t(t^2+1) +4t^2]}{1+t^2} dt \)
\(= \int_0^1 t^4[(t^2+1) - 4t + \frac{4t^2}{t^2+1}] dt \)
\(=\int_0^1 (t^6 + t^4 - 4t^5 + \frac{4t^6}{t^2+1}) dt \)
\(=\int_0^1 (t^6 + t^4 - 4t^5 + 4 \frac{t^6+1}{t^2+1} - \frac{4}{t^2+1}) dt \)
\(=\int_0^1 (t^6 + t^4 - 4t^5 + 4(t^4 -t^2+1) - \frac{4}{t^2+1}) dt \)
\(= \frac{22}{7} - \pi \)

[nooonuii]

ผมใช้วิธีแยกเป็นฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ครับ แต่ก็ไม่ต่างกันเท่าไหร่นะ

[passer-by]

ขอบคุณ สำหรับทุกความเห็นครับ

สรุปว่า ผมคงไม่ต้องบอก ว่าข้อนี้ตอบเท่าไหร่ เพราะเรียบร้อยโรงเรียนคุณ M@gpie ไปแล้ว

ตอนที่ผมทำ ก็ลองมาหมดทุกอย่าง ไปจนถึงขั้น Beta / gamma function แต่ก็ fail

ผมไม่รู้เหมือนกันว่า คนตั้งโจทย์ข้อนี้ ได้แรงบันดาลใจจากอะไร หรือ integrand ตัวนี้ เคยปรากฎในการศึกษา ประวัติศาสตร์การประมาณค่า p มาก่อนหรือไม่ แต่ก็ต้องขอชมอีกครั้งว่า คำตอบข้อนี้สวยจริงๆ

ใครมีแนวทางอื่นๆ ก็ลองเสนอเข้ามาได้เรื่อยๆ นะครับ

[warut]

ผมเพิ่งทราบมาจากกระทู้ที่ วิชาการ.คอม (ต้องให้เครดิตเขาหน่อย จะได้เป็นตัวอย่างที่ดีกับคนรุ่นหลัง ) ว่ามีข้อมูลเกี่ยวกับเรื่องนี้อยู่ที่ wikipedia ครับ

[passer-by]

จาก reference ของคุณ warut ทำให้ผมเพิ่งรู้ว่า integrand นี้เคยเป็นคำถามใน Putnam competition รุ่นดึกดำบรรพ์มาแล้ว ...classic problem จริงๆ

[warut]

แถมให้อีกอันครับ $$ \int_0^1 \frac{x^8 (1-x)^8 (25+816x^2)}{3164 (1+x^2)} = \frac{355}{113} - \pi $$