ลองคิดดูหน่อย

[pom006]

จงหาค่าของ {3*(21)^(1/2) + 8}^(1/3) - {3*(21)^(1/2) - 8}^(1/3)

[Mastermander]

$$(3\sqrt{21}+8)^{1/3}+(3\sqrt{21}-8)^{1/3}=b$$
$$(3\sqrt{21}+8)^{1/3}+(3\sqrt{21}-8)^{1/3}-b=0$$
$$(3\sqrt{21}+8)+(3\sqrt{21}-8)-b^3=3\sqrt[3]{(3\sqrt{21}+8)(3\sqrt{21}-8)}(-b)$$
$$6\sqrt{21}-b^3=-15b$$
$$b^3-15b-6\sqrt{21}=0$$
$$b=\sqrt{21}$$

[pom006]

โจทย์เป็นลบไม่ใช่บวกครับ

[Mastermander]

Oops! ดูโจทย์ผิดจริงๆด้วยแฮะ
$$(3\sqrt{21}+8)^{1/3}-(3\sqrt{21}-8)^{1/3}=a$$
$$(3\sqrt{21}+8)^{1/3}-(3\sqrt{21}-8)^{1/3}-a=0$$
$$(3\sqrt{21}+8)-(3\sqrt{21}-8)-a^3=3\sqrt[3]{-(3\sqrt{21}+8)(3\sqrt{21}-8)}(-a)$$
$$16-a^3=15a$$
$$a^3+15a-16=0$$
$$\therefore \ a=1$$

[gon]

ให้ $A = (3\sqrt{21} + 8), B = (3\sqrt{21} - 8)$

จะได้ว่า $ AB = 125$

จะหา $A^{\frac{1}{3}} - B^{\frac{1}{3}} $

แต่ $(A^{\frac{1}{3}} - B^{\frac{1}{3}})^3 = A - B - 3(AB)^{\frac{1}{3}}(A^{\frac{1}{3}} - B^{\frac{1}{3}}) $

ให้ x = $A^{\frac{1}{3}} - B^{\frac{1}{3}}$

จะได้สมการ $x^3 = 16 - 15x$ ซึ่งนั่งมองก็เห็นโดยสามัญสำนึกง่าย ๆ ว่า x =