ช่วยชี้แนะแนวทางอสมการหน่อยครับ

[ShaDoW MaTH]

1.ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริง และ $a^2+b^2+c^2+d^2=4$
จงพิสูจน์ว่า $a^3+b^3+c^3+d^3 \leqslant 8$
2.a,b,c>0
$a^3+b^3+c^3-3abc\geqslant 2\left(\,\frac{b-c}{2}-a \right)^3$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShaDoW MaTH

1.ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริง และ $a^2+b^2+c^2+d^2=4$
จงพิสูจน์ว่า $a^3+b^3+c^3+d^3 \leqslant 8$

จาก $$a^4+b^4+c^4+d^4 \leq (a^2+b^2+c^2+d^2)^2=16$$
เเละ อสมากรของจากโคชี $$\frac{a^6}{a^2}+\frac{b^6}{b^2}+\frac{c^6}{c^2}+\frac{d^6}{d^2} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}$$
$$\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3 \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a^4+b^4+c^4+d^4)} \leq 8$$

[LightLucifer]

ที่จริงแล้วผมว่าข้อ 1 มันไม่มีทางเป็นสมการนะ
คงเป็นข้อล่อเป้าของ Vasc ชัวๆเลย 55+

[จูกัดเหลียง]

เป็นได้นี่ครับ เมื่อ $a=b=c=0.d=2$
ยังไงครับ ข้อล่อเป้า vasc ==

[LightLucifer]

อ่อ ลืมดูว่าจำนวนจริง 55+
ก็นี่เป็นโจทย์ใน warm-up problem set ของ vasc ไงครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

อ่อ ลืมดูว่าจำนวนจริง 55+
ก็นี่เป็นโจทย์ใน warm-up problem set ของ vasc ไงครับ

เเต่ผมว่า ข้ออื่นยากดีนะ ทำได้เเค่ ข้อเดียวเอง 555+

[Amankris]

#2
ถ้า $a,b,c,d$ เป็น $0$ ละครับ

[template]

1.\[a^3+b^3+c^3\le\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4)}\le\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^3}=8\]