differentiation of det function

[Punk]

ปัญหาข้อนี้มาจากวิชา Riemannian geometry แต่วิธีทำไม่น่าจะเกินมัธยมปลายแน่นอนครับ (อย่างมากคือต้องรู้ว่าการหาอนุพันธ์ย่อยทำอย่างไร
ซึ่งก็ไม่ต่างจากการหาอนุพันธ์ทั่วไปมากนัก)

โจทย์ กำหนดให้ $g=[g_{ij}(x)]_{n\times n}$ เป็นเมตริกซ์ขนาด $n\times n$ ซึ่งสมมาตร (symmetric) และหาอินเวอร์สการคูณได้$\,$ โดยสมาชิก $g_{ij}(x)$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปร $x=(x_1,\ldots,x_n)$ ($x_i\in\mathbb{R}$) $\,\,\,$ และ กำหนดให้ $g^{-1}=[g^{ij}(x)]_{n\times n}$ เป็นเมตริกซ์อินเวอร์สการคูณของ $g$

จงพิสูจน์ว่า
\[
\frac{\partial}{\partial x_i}\det g=\det g\sum_{j,k=1}^ng^{jk}\frac{\partial g_{jk}}{\partial x_i}
\]

[Punk]

Hint: สำหรับเมตริกซ์ $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ ใดๆ
\[
\det A=\sum_{\pi\in S(n)}\text{sgn}(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\cdots a_{n\pi(n)}
\]
เมื่อ $S(n)$ แทนกรุ้ปของการสลับที่ของ $\{1,2,\ldots,n\}$ และ $\text{sgn}(\pi)=\pm1$ โดยเท่ากับ +1 หากเป็น even permutation และ -1 หากเป็น odd permuatation
(Leibnitz formula for determinant http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz...determinant%29)