สุดยอดโจทย์อนุกรมอย่างยาก

['' ALGEBRA '']

ช่วยกันคิดด้วยนะคับ

ช่วยกันคิดด้วยนะคับ

[PP_nine]

ขอข้อง่ายๆก่อนละกัน

ข้อ3

เนื่องจาก $$e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$ จึงได้ว่าอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ทุกจำนวนจริง x

ข้อ6

เนื่องจากว่า ถ้าอนุกรมคอนเวอร์เจนต์แล้ว ลิมิตของลำดับต้องเป็น 0

$\therefore \left|\,\frac{e}{k}\right|<1$ เพราะโดยโลปิตาล ไม่ว่าตัว $n^k$ จะยกกำลังมากเท่าใด ลิมิตก็จะเป็น 0 เสมอตามเงื่อนไขที่ได้

$k \in \mathbb{R}-[-e,e]$

[nooonuii]

โจทย์ทุกข้อยกเว้นข้อ $5$ ใช้ ratio test ได้ครับ

เช่น ข้อ $4$

$a_n=n!x^n$

$a_{n+1}=(n+1)!x^{n+1}$

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=(n+1)x$

ถ้า $x\neq 0$ จะได้ว่า $\lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n\to\infty}(n+1)|x|=\infty$

ดังนั้น โดย ratio test $x=0$ เท่านั้นที่ทำให้อนุกรมลู่เข้า่

ข้อ $5$

A. ไม่จริง เช่น $\sum a_n=\sum b_n = \sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

B. จริง ใช้การทดสอบแบบเปรียบเทียบกับอสมการ

$|a_nb_n|\leq\dfrac{a_n^2+b_n^2}{2}$