Uniform Continuity

[Lekkoksung]

จะถามสองข้อครับ

1. $f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}$ บน $\mathbb{R}$

2. $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}$ บน $[\dfrac{1}{2}, \infty )$

ต่อเนื่องแบบเอกรูปรึป่าวครับ

รบกวนขอ hint ด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

1. $f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}$ บน $\mathbb{R}$

2. $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}$ บน $[\dfrac{1}{2}, \infty )$

เป็นทั้งคู่ครับ

1. พิสูจน์อสมการ

$\left|\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+y^2}\right|=\dfrac{|x^2-y^2|}{(1+x^2)(1+y^2)}\leq |x-y|$

อสมการตัวหลังพิสูจน์ว่า $|x+y|\leq\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}\leq (1+x^2)(1+y^2)$

2. พิสูจน์อสมการ

$\left|\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}\right|\leq 16|x-y|$

อสมการตัวหลังมาจากอสมการ

$x\leq 2x^2\leq 8x^2y^2$

$y\leq 2y^2\leq 8x^2y^2$

ถ้าใช้ Mean Value Theorem จะพิสูจน์ได้ง่ายขึ้นโดยใช้อนุพันธ์ครับ

[Lekkoksung]

ขอบคุณครับพี่