ช่วยด้วยครับ

[Singularity]

1.จงพิสูจน์ว่า ( Fn,n) = 1 เมื่อ Fn คือจำนวนแฟร์มาต์
2.จำแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก n ซึ่งมากกว่า 1 ซึ่ง n l (2^n) -1
2 ข้อนี้จนปัญญามากครับ ขอ hint สักเล็กน้อยก็ยังดีครับ

[LightLucifer]

ผมว่า $4|2^4$ นะ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Singularity

1.จงพิสูจน์ว่า ( Fn,n) = 1 เมื่อ Fn คือจำนวนแฟร์มาต์
2.จำแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก n ซึ่งมากกว่า 1 ซึ่ง n l (2^n)
2 ข้อนี้จนปัญญามากครับ ขอ hint สักเล็กน้อยก็ยังดีครับ

ข้อ 2. $n=2$ ก็จิงนี่ครับ = =

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Singularity

2.จำแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $n$ ซึ่งมากกว่า $1$ ซึ่ง $n\mid 2^n+1$

เดาว่าเป็นแบบนี้

[Singularity]

แก้แล้วครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Singularity

2.จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $n$ ซึ่งมากกว่า $1$ ซึ่ง $n \mid 2^n -1$

เดาผิด จำสลับกัน

สมมติว่ามีจำนวนนับที่มีสมบัตินี้

ให้ $n$ เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มีสมบัตินี้

ดังนั้น

$2^n-1\equiv 0\pmod{n}$

สังเกตว่า $n$ ต้องเป็นจำนวนคี่

ดังนั้น $(n,2)=1$

โดย Euler's Theorem

$2^{\phi(n)}-1\equiv 0\pmod{n}$

ดังนั้น $n\mid (2^n-1,2^{\phi(n)}-1)=2^{(n,\phi(n))}-1$

ให้ $k=(n,\phi(n))\leq\phi(n)<n$

จะได้ว่า $k\mid n$ และ $n\mid 2^k-1$

ดังนั้น $k\mid 2^k-1$ ซึ่งขัดแย้งกับการที่เราสมมติว่า

$n$ เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มีสมบัตินี้

ลืมไปว่าขอ Hint

[Keehlzver]

มีเฉลยอยู่ในหนังสือ 250 Number theory problems ครับ ผมให้ลิ้งค์ไว้แล้วมั้งลงค้นๆดูนะครับ

มันจะตรงกับข้อ 51,20 ตามลำดับ (ข้อ 51 tatari/nightmare เคยเฉลยไว้แล้ว Light ก็เคยทำข้อนี้แล้ว ลงค้นดูครับ)