มาเตรียมพร้อมซักนิด ก่อนสอบสมาคมกันดีกว่า :)

[~ArT_Ty~]

ตามหัวข้อครับ ใครมีโจทย์ดีๆก็นำมาลงได้นะครับ มาช่วยกันแชร์วิธีคิดและความรู้กันครับ

['' ALGEBRA '']

ผมขอย้ายกระทู้จาก''โจทย์ท้าทายความสามารถ''มาอยู่นี้ เจ้าของกระทู้คงไม่ว่ากันนะคับ พอดีว่าที่ผมลงโจทย์ไปก้อเพื่อจะสอบสมาคมคณิตฯเหมือนกัน
ขอเปิดเลยล่ะกัน สมาคมชอบออกอะไรสูงๆต่ำๆเลยจัดไป

$จงหาค่าสูงสุดของ \frac{cosec ^2x - tan^2x}{\cot^2x + tan^2x -1} $

$\star \star \star$จงหาผลเฉลยของ $sin x = 10 sin 10x ; 0\leqslant x\leqslant \pi $

แบบที่ว่าใช้เวลา3นาทีแล้วออกอ่ะคับ(ขอวิธีแบบไม่วาดกราฟนะครับ)เป็นข้อสอบโค้วตามอ.ปี54ผมสุ่มเอาแต่ก้อดันผิดอ่ะคับ
1.)$x^2+xy+y^2+3x+6y+6=0$ จงหาจำนวนเต็ม x,y ที่เป็นไปตามสมการนี้ทั้งหมด

2.)ถ้าให้จำนวนเต็มบวกสามารถเขียนในรูปผลบวกของเลขที่แสดงได้ในรูป $3^n ; \left(n\geqslant 0\right)$ มากกว่าหนึ่งพจน์แล้วเมื่อนำมาเขียนเรียงลำดับจากค่าน้อยไปหามาก จะได้ออกมาเป็น 1,3,4,9,10,12,13,... จงหาว่าตัวเลขลำดับที่ 100 มีค่าเท่าไร

3.)ให้ $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนจริง
ถ้า P(1)=5,P(2)=10,P(3)=15,P(5)=25 แล้ว P(4) มีค่าเท่าใด

4.)กำหนดให้ $\frac{sinx+siny+sinz}{sin(x+y+z)}=2= \frac{cosx+cosy+cosz}{cos(x+y+z)}$ จงหาค่าของ $sinx siny + siny sinz + sinz sinx$ และ $cosx cosy + cosy cosz +cosz cosx$

5.)จงหาค่าของ a,b,c,d ที่ทำให้ $32cos^4xsin^2x = a + bcos2x + ccos4x + dcos6x$
6.)จงหาค่าของ a,b,c ที่ทำให้ $16sin^4xcosx = acosx + bcos3x + ccos5x$
7.)กำหนดให้ $\alpha ,\beta ,\gamma$ เป็นรากของสมการ $x^3+x^2-2x-1=0$
จงหาค่าของ
7.1)$\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta} + \sqrt[3]{\gamma}$
7.2)$\sqrt[3]{\alpha}\sqrt[3]{\beta} + \sqrt[3]{\beta}\sqrt[3]{\gamma} + \sqrt[3]{\gamma}\sqrt[3]{\alpha}$
7.3)$\sqrt[3]{\alpha}\sqrt[3]{\beta}\sqrt[3]{\gamma}$
8.)จงหาค่าของ
8.1)$cos\frac{2\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}+cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{8\pi }{9}$

8.2)$cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{4\pi }{9}+cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}+cos\frac{6\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}$

8.3)$cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}$

8.4)$cos^2\left(\frac{2\pi }{9}\right)+cos^2\left(\frac{4\pi }{9}\right) +cos^2\left(\frac{6\pi }{9}\right) +cos^2\left(\frac{8\pi }{9}\right) $

['' ALGEBRA '']

วิธีของคุณ dephenul

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dephenul

ข้อ3 ให้ $Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)$
$P(x)=Q(x)+(5x)$
$P(4)=(3)(2)(1)(-1)+(5x4)
= 14$

วิธีของคุณ AnDroMeDa

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

พิจารณาสมการ $x^2+(y+3)x+y^2+6y+6=0$
$discriminant=-3y^2-18y-15\geqslant 0 \Leftrightarrow (y+1)(y+5)\leqslant 0 \Rightarrow y=-1,-2,-3,-4,-5$
แทนค่าลงไปในสมการเริ่มต้นได้ว่า$(x,y)=(-1,-1),(1,-2),(-2,-2),(-1,-4),(1,-5)$

ผมย้ายมาจากกระทู้''โจทย์ท้าทายความสามารถ'' คงไม่ว่ากันนะคับ

['' ALGEBRA '']

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dephenul

ข้อ3 ให้ $Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)$
$P(x)=Q(x)+(5x)$
$P(4)=(3)(2)(1)(-1)+(5x4)
= 14$

$P(x)=Q(x)+(5x)$
5x นี่มาจากไหนหราคับ ท่านตัส เหอะๆ ข้อนี่ผมกำลังงง

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ '' ALGEBRA ''

$P(x)=Q(x)+(5x)$
5x นี่มาจากไหนหราคับ ท่านตัส เหอะๆ ข้อนี่ผมกำลังงง

เนื่องจากPเป็นพหุนามโมนิกกำลังสี่ก็เลยสมมติตามโจทย์ให้เป็น
$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)+5x$ลองแทนค่า$x=1,2,3,5$ดูสิครับ
เดวมาทำข้อสุดท้ายให้นะงับ ตอนนี้มึนๆอยู่

[~ArT_Ty~]

สูงๆต่ำๆนี่ไฮโลหรือเปล่าครับ 555 ล้อเล่นน่ะครับ :P

['' ALGEBRA '']

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

สูงๆต่ำๆนี่ไฮโลหรือเปล่าครับ 555 ล้อเล่นน่ะครับ :P

55+ ตอนนี้กำลังเล่นPokerคับ 55+

['' ALGEBRA '']

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

พิจารณาสมการ $x^2+(y+3)x+y^2+6y+6=0$
$discriminant=-3y^2-18y-15\geqslant 0 \Leftrightarrow (y+1)(y+5)\leqslant 0 \Rightarrow y=-1,-2,-3,-4,-5$
แทนค่าลงไปในสมการเริ่มต้นได้ว่า$(x,y)=(-1,-1),(1,-2),(-2,-2),(-1,-4),(1,-5)$

ผมว่ามันขาด (2,-4) ไปนะคับ ผมหาที่ผิดของคุณไม่เจอเหมือนกัน(รึว่าผมมึนเองเหอะๆ)
คุณลองคิดใหม่ก้อได้คับ แต่เดวผมลองลงวิธีของผมดู
ตอนนี้ผมหมดพลังแล้วคับ อะเฮือ!!

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ '' ALGEBRA ''

$2.)ถ้าให้จำนวนเต็มบวกสามารถเขียนในรูปผลบวกของเลขที่แสดงได้ในรูป 3^n ; \left(n\geqslant 0\right) มากกว่าหนึ่งพจน์$
$แล้วเมื่อนำมาเขียนเรียงลำดับจากค่าน้อยไปหามาก จะได้ออกมาเป็น 1,3,4,9,10,12,13,... จงหาว่าตัวเลขลำดับที่ 100 มีค่าเท่าไร$

ลองทำข้อนี้ดู ถึกพอสมควรเลยครับ
ไม่ทราบว่ามีเฉลยอ่ะป่าว คิดได้ $1002$ อ่ะครับ (ไม่ค่อยแน่ใจ)
มาเพิ่มวิธีทำครับ จากการสังเกต จะพบว่า
$a_2=3^1$
$a_{4}=3^2$
$a_{8}=3^3$... นั่นคือ $a_{2^k}=3^k$
$a_{100}=a_{2^6+36}$ คืออีก 36พจน์ถัดไปจาก $a_{64}=3^6$
พิจารณาพจน์ถัดจาก $3^6$ จะได้
$3^0+3^6,3^1+3^6,...,3^5+3^6,..$ เปรียบเหมือนการเลือกเลขยกกำลัง จาก $0-5$ ทีละ $1,2,3,4,5$ ตัวตามลำดับ (ไม่คิดเลข 6 แต่เวลาตอบต้องรวมด้วยนะ)
ดังนั้นจะได้ว่า อีก 36 พจน์เลือกตามลำดับจากน้อยไปมากได้ดังนี้
$0,1,2,3,4,5$ 6 ตัว
$(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5)$ 5ตัว
$(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)$ 4ตัว
$(2,3),(2,4),(2,5)$ 3ตัว
$(3,4),(3,5)$ 2ตัว
$(4,5)$ 1ตัว
$(0,1,2),(0,1,3),(0,1,4),(0,1,5)$ 4ตัว
$(0,2,3),(0,2,4),(0,2,5)$ 3ตัว
$(0,3,4),(0,3,5)$ 2ตัว
$(0,4,5)$ 1ตัว
$(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5)$ 3ตัว
$(1,3,4),(1,3,5)$ 2ตัว ถึงตรงนี้จะครบ 36 ตัวพอดี
ดังนั้น ตัวที่ $100$ คือ $3^1+3^3+3^5+3^6=1002$ ครับ

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ '' ALGEBRA ''

8.)จงหาค่าของ
8.1) $cos\frac{2\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}+cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{8\pi }{9}$

8.2) $cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{4\pi }{9}+cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}+cos\frac{6\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}$

8.3) $cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}$

8.4) $cos^2\left(\frac{2\pi }{9}\right)+cos^2\left(\frac{4\pi }{9}\right) +cos^2\left(\frac{6\pi }{9}\right) +cos^2\left(\frac{8\pi }{9}\right) $

การแสดงว่ารากของสมการ$16t^4+8t^3-12t^2-4t+1=0$ คือ $cos\frac{2\pi }{9} ,cos\frac{4\pi }{9} ,cos\frac{6\pi }{9} $และ$cos\frac{8\pi }{9} $

ให้$\theta _n=\frac{2\pi n}{9},n\in \mathbb{Z} $ จะได้ว่า $4\theta _n=2\pi n-5\theta _n \Rightarrow cos(4\theta _n)=cos(5\theta _n) $ บ้าพลังกระจาย $cos$ ออกมาและให้$cos\theta _n=t_n$ได้ว่าสมมูลกับ
$$ 16t^5 _n-8t^4 _n-20t^3 _n+8t^2 _n+5t _n-1=0 \Leftrightarrow (t_n-1)(16t^4_n+8t^3_n-12t^2_n-4t_n+1)=0 ....................1$$
สำหรับ $n=0,1,2,3,4$ ได้ว่า $t_0=1,t_1=cos(\frac{2\pi }{9}),t_2=cos(\frac{4\pi }{9}),t_3=cos(\frac{6\pi }{9}),t_4=cos(\frac{8\pi }{9})$ หารด้วย$t_n-1$ออกจากสมการ 1 ได้ว่าสมการ
$$16t^4+8t^3-12t^2-4t+1=0 มีรากได้แก่ cos\frac{2\pi }{9} ,cos\frac{4\pi }{9} ,cos\frac{6\pi }{9} และ cos\frac{8\pi }{9} $$

โดย Viete's Relation ได้ว่า
8.1) $cos\frac{2\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}+cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{8\pi }{9}=-\frac{1}{2} $
8.2) $cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{4\pi }{9}+cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}+cos\frac{6\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}=-\frac{3}{4} $

8.3) $cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}=\frac{1}{4} $

8.4) $cos^2\left(\frac{2\pi }{9}\right)+cos^2\left(\frac{4\pi }{9}\right) +cos^2\left(\frac{6\pi }{9}\right) +cos^2\left(\frac{8\pi }{9}\right)=(cos\frac{2\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}+cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{8\pi }{9})^2$
$-2(cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{4\pi }{9}+cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{2\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{6\pi }{9}+cos\frac{4\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9}+cos\frac{6\pi }{9}cos\frac{8\pi }{9})=\frac{1}{4}+\frac{6}{4}=\frac{7}{4} $

#8 ผมสะเพร่าเอง แก้แล้วครับ

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ '' ALGEBRA ''

$6.)จงหาค่าของ a,b,c ที่ทำให้ 16sin^4xcosx = acosx + bcos3x + ccos5x$

กระจายในรูป $cos$ ออกมาได้ว่า $16cos^5x-32cos^3x+16cosx=(16c)cos^5x+(4b-20c)cos^3x+(a-3b+5c)cosx$
เทียบสัมประสิทธิ์ได้ว่า $a=2,b=-3,c=1$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ '' ALGEBRA ''

$5.)จงหาค่าของ a,b,c,d ที่ทำให้ 32cos^4xsin^2x = a + bcos2x + ccos4x + dcos6x$

กระจายในรูป $sin$ ออกมาได้ว่า
$$32sin^6x-64sin^4x+32sin^2x=(-32d)sin^6x+(48d+8c)sin^4x+(-18d-8c-2b)sin^2x+(d+c+b+a) $$
$\Rightarrow d=-1,c=-2,b=1,a=2$

[BLACK-Dragon]

7.
ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $x^3+x-2x-1=0$

$ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=A$

$\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{c}\sqrt[3]{a}=B$

$abc=1$

จากนั้นเราจะได้ว่า $-1=A^3-3AB+3$ และ $-2=B^3-3AB+3$

$A^3B^3=(3AB-4)(3AB-5)$

$(AB-3)^3=-7$

จากนั้นเราเอาค่า $AB$ ที่ได้ไปแทนกลับ

$A=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}},B=\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]{7}}$

ปล. ขออภัยนะครับ ผมลัดมาลายขั้นนิดหน่อย ช่วงนี้ติดสอบปลายภาคเลยไม่ค่อยมีเวลา

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

7.
ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $x^3+x-2x-1=0$

$ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=A$

$\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{c}\sqrt[3]{a}=B$

$abc=1$

จากนั้นเราจะได้ว่า $-1=A^3-3AB+3$ และ $-2=B^3-3AB+3$

$A^3B^3=(3AB-4)(3AB-5)$

$(AB-3)^3=-7$

จากนั้นเราเอาค่า $AB$ ที่ได้ไปแทนกลับ

$A=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}},B=\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]{7}}$

ปล. ขออภัยนะครับ ผมลัดมาลายขั้นนิดหน่อย ช่วงนี้ติดสอบปลายภาคเลยไม่ค่อยมีเวลา

มายังไงครับ?

อ่อ เก็ทละครับ

[AnDroMeDa]

#14 ก็แยกตัวประกอบไงครับ

#13 note:
1.$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+yz+xz))+3xyz$
2.$x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3=(xy+yz+xz)^3-3xyz(x+y+z)(xy+yz+xz)+3(xyz)^2$
จากนั้นก็แทน $x=\sqrt[3]{\alpha },y=\sqrt[3]{\beta },z=\sqrt[3]{\gamma } $