ไม่ทราบว่าตอนนี้มีทฤษฎีบทแบบนี้หรือยังครับ

[armpakorn]

1. สำหรับจำนวนเต็มบวก n และ k ใดๆ $\sqrt[k]{n}$ จะเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนอตรรกยะบวกอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
2. สำหรับจำนวนเต็มบวก n,m,k ใดๆ ถ้า $n \nmid m$ แล้ว $n^k \nmid m^k$ ด้วย

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อสองน่าจะมีแล้วครับ

[artty60]

?????????????

[armpakorn]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ข้อ1 ไม่จริงครับ

ไม่แน่ใจเหมือนกันครับ กำลังพยายามพิสูจน์อยู่ ขอตัวอย่างหักล้างด้วยครับ

[artty60]

ขออภัยเมื่อสักครู่ดูเงื่อนไขไม่ทั่ว
มันก็น่าจะมี ดูเหมือนมันเป็นตรรกะน่ะ

[armpakorn]

เดี๋ยวจะลองเอาบทพิสูจน์มาให้ดูนะครับ

[Amankris]

น่าจะเป็นแบบฝึกหัดแรกๆในเรื่องการหารลงตัวได้นะ

[armpakorn]

อันนี้เป็นบทพิสูจน์ของข้อแรกนะครับ พิสูจน์แบบ contradiction

ให้ $m = \sqrt[k]{n}$ เป็นจำนวนตรรกยะบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก จะได้ว่ามีจำนวนเต็มบวก a, b ที่ทำให้ $\frac{b}{a} = m = \sqrt[k]{n}$ ซึ่ง $a \nmid b$ ด้วย

(เนื่องจาก ถ้าให้ $a \nmid b$ จะได้ว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก c ที่ทำให้ $ac = b$ หรือ $c= \frac{b}{a}$ ซึ่งจะได้ว่า $\frac{b}{a}$ ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก)

สมมุติให้ $m = \sqrt[k]{n}$

$\frac{b}{a} = \sqrt[k]{n}$

$\frac{b^k}{a^k} = n$ (ยกกำลัง k ทั้งสองข้าง)

เนื่องจาก $a \nmid b$ ดังนั้น $a^k \nmid b^k$(ในกรณีที่ข้อความนี้เป็นจริง) จะได้ว่า n ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขในตอนต้น จึงสรุปว่า $\sqrt[k]{n}$ ไม่สามารถเป็นจำนวนตรรกยะบวกนอกจากจำนวนเต็มบวกได้

ช่วยตรวจสอบหน่อยครับ ขอบคุณครับ