อนุกรมอนันต์2

[Mastermander]

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{5n^2+5n-3 \cdot2^n}{2^n\cdot n^2+2^n}$$
หาได้อย่างไรครับ

[warut]

เอาโจทย์มาจากไหนครับเนี่ย random ขึ้นมาเองรึเปล่า ดูคร่าวๆแล้วไม่น่าหาคำตอบออกมาในรูปปิดได้ แต่ถ้าเป็น numerical value แล้วหาได้ง่ายมากครับ ผมหาได้เท่ากับ

2.2432733791927400348854352209819334941715...

[Mastermander]

จริงๆแล้วจะตั้งโจทย์เป็น

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{5n^2+5n-3\cdot 2^n}{2^n\cdot n^2+2^n\cdot n} $$

แต่บังเอิญพิมพ์ n ตกไปตัวนึง แล้วโพสต์โจทย์นี้ลงไปแล้ว...ก็เลยมาหาคำตอบที่นี่ครับ

ขอบคุณมากครับ

ถ้าท่านใดมีวิธีคิดตรงๆก็บอกกล่าวกันด้วยนะครับ

[warut]

อ๋อ... ถ้าเป็นอันนี้ก็ง่ายมากครับ

[nongtum]

แยกตัวประกอบทั้งตัวเศษและตัวส่วน แล้วแยกเทอมจะได้
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{5n^2+5n-3\cdot 2^n}{2^n\cdot n^2+2^n\cdot n}
=5\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}-3\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=5-3=2$$

[Mastermander]

[nongtum]

259. (หากสงสัยลองไปค้นดูเรื่อง power series ดูนะครับ)
$$\begin{eqnarray}
x+\frac{5x^3}{2\cdot3}+\frac{9x^5}{4\cdot5}+\frac{13x^7}{6\cdot7}+\ldots
&=&x+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})x^3+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})x^5+(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})x^7+\ldots\\
&=&(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\ldots)+\frac{x}{2}(x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}+\ldots)\\
&=&\text{arctanh}\; x-\frac{x}{2}\ln{(1-x^2)}\\
\end{eqnarray}$$

260. จาก $$(1-x)^{-2/3}=1+\frac{2}{3}x+\frac{2\cdot5}{3\cdot6}x^2
+\frac{2\cdot5\cdot8}{3\cdot6\cdot9}x^3+\ldots$$ เมื่อให้ x=1/2 จะได้ผลรวมอนุกรมที่ต้องการคือ $2^{2/3}$

[Mastermander]

ขอบคุณมากครับ

แก้ไขแล้วครับ

Edited Versions

[warut]

$$\int x\, d(\ln|1-x^2|) =\int \frac{2x^2}{x^2-1} \,dx$$ $$= \int2+ \frac{1}{x-1}- \frac{1}{x+1} \,dx$$ $$=2x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| +C$$ $$=2x +\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| +C$$ $$=2x+ \ln \left| \frac{1-x}{1+x} \right| +C$$

[Mastermander]

จากรูปที่ผมแนบไว้ด้านบน บรรทัดที่ 2 นับจากด้าน ล่าง ต้องมีออกมาเป็น -x เพื่อให้ผลลัพธ์เป็นบรรทัดสุดท้าย
แต่คิดออกมาได้ +x มันก็เลยรวมเป็น 2x ซึ่งผิด อยากทราบว่าผมผิดตรงไหนครับ

[warut]

$ \because \, c=-1 \ne1$

[Mastermander]

ขอถามว่าทำไม ค่าคงที่เป็น -1 ครับ

ในเมื่อก่อนดิฟเราทราบว่า ค่าคงที่คือ 1 แล้ว ทำไมพออินทิเกรตกลับ ไม่ได้ค่าคงที่ตัวเดิมหรอครับ

[warut]

จากที่ $$\left. \frac{ds}{dx} \right|_{x=0} =1$$ ดังนั้นเมื่อ $x=0$ เราจะต้องได้ว่า $$ -\frac12 \ln |1-x^2|+ 2(1-x^2)^{-1} +c=1$$ แก้สมการแล้วเราจะพบว่า $c=-1$ ครับ

[Mastermander]

จงหาผลบวกอนุกรมจนถึง n เทอม
12 + 123 + 1234 + 12345 + ...

[nongtum]

ถ้าหาถึงเทอมที่ n มันเป็นไปได้หลายแบบนะครับ เช่น
...+123456789+1234567890+12345678901+123456789012+...
...+123456789+12345678910+1234567891011+123456789101112+...
...+123456789+1234567891+12345678912+123456789123+1234567891234+...
ฯลฯ
จะเอายังไงลองบอกมาให้ชัดอีกทีนะครับ