เพชรยอดมงกุฎ ปี 53

[Bally]

ผมจะสอบเพชรยอดมงกุฎ และ จะทำข้อสอบเก่า จึงได้
ซื้อหนังสือรวมข้อสอบคณิตศาสตร์เพชรยอดมงกุฎมา
บางข้อผมก็ทำไม่ได้
อยากให้พี่ๆช่วยเฉลยวิธีคิดให้หน่อยครับ

[Euler-Fermat]

1. $3a^2-2a+10 = (3a+4)(a-2)+18 $
$\therefore a-2\mid 18 $
$a-2 = \pm 1,2,3,6,9,18 $
$a= 3,4,5,8,11,20 $
ผลบวกสมาชิกของ$ a = 51$

[Euler-Fermat]

2. $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}) = \frac{11x13}{17} $
$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a} = \frac{143}{17} -3 = \frac{92}{17}$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

1. $3a^2-2a+10 = (3a+4)(a-2)+18 $
$\therefore a-2\mid 18 $
$a-2 = \pm 1,2,3,6,9,18 $
$a= 3,4,5,8,11,21 $
ผลบวกสมาชิกของ$ a = 52$

ทำไมตัวสุดท้ายได้ 21 ละครับ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ทำไมตัวสุดท้ายได้ 21 ละครับ

บวกเลขผิดฮะ แก้แล้วนะครับ

[กิตติ]

12. $x^2-13x+1=0$
$x\not= 0,x+\frac{1}{x}=13 $
$x^2+\frac{1}{x^2}=169-2=167 $
$x^4+\frac{1}{x^4}=167^2-2$
ข้อนี้เดาว่าลงท้ายด้วยเลข $9-2=7$ และเป็นเลขที่มีอย่างน้อย 5 หลัก เพราะ $100^2=10,000$
ตอบ $27887$

[กิตติ]

34. $x^3-7x+1=0$
เขียนเป็น$(x-p)(x-q)(x-r)=0$
แทน $x=i$ จะได้ว่า $(i-p)(i-q)(i-r)=i^3-7i+1$
$(p-i)(q-i)(r-i)=-(-i-7i+1)=8i-1$.......(1)
แทน $x=-i$ จะได้ว่า $(-i-p)(-i-q)(-i-r)=(-i)^3+7i+1$
$(p+i)(q+i)(r+i)=-((-i)^3+7i+1)=-1-8i$......(2)
(1)คูณด้วย(2)
$(p^2+1)(q^2+1)(r^2+1)=(-1)^2-(8i)^2=1+64=65$

[กิตติ]

30. $x^3-x^2+x-2=0$
$p+q+r=1$
$pqr=2$
$pq+pr+qr=1$
$p^3+q^3+r^3=(p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-pr-qr)$
$p^2+q^2+r^2=(p+q+r)^2-2(pq+pr+qr)= -1$
$p^3+q^3+r^3=-1-1=-2$

ผมจำเอกลักษณ์ตกหล่นต้องเป็น $p^3+q^3+r^3=3pqr+(p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-pr-qr)$
ตอบ 4 ครับ
ขอบคุณKeehlzver มากครับที่ช่วยเช็คให้ครับ

[nooonuii]

บางข้อที่ว่านี่ข้อไหนบ้างครับ คนตอบจะได้ตอบให้ตรงจุด

[กิตติ]

11.$\frac{1}{x} =\frac{2}{y+z} =\frac{3}{x+z}= \frac{x^2-y-z}{x+y+z} $
$\frac{2}{y+z} =\frac{-3}{-(x+z)} $
$\frac{2-3}{(y+z)-(x+z)} =\frac{1}{x-y}=\frac{1}{x}$
$y=0$ จะได้ $\frac{1}{x} =\frac{2}{z} =\frac{3}{x+z}= \frac{x^2-z}{x+z} $
$\frac{z-y}{x}=\frac{z}{x}=2 $

[กิตติ]

อ่านที่คุณNoooNuiiถามแล้วฉุกใจ..."ซื้อหนังสือรวมข้อสอบคณิตศาสตร์เพชรยอดมงกุฎมา"....ปกติหนังสือมันมีเฉลยให้ด้วยนี่ครับ
ติดข้อไหนบอกเป็นข้อๆ หรือไม่เข้าใจเฉลยตรงไหน ในบอร์ดน่าจะมีคนยินดีอธิบายให้

[banker]

$ \frac{45}{360} \pi (\frac{x}{\pi})^2 = X+Y = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$

$x= 2 $

[banker]

ให้ 25542553 = m จะได้

$ \frac{a}{b} = \frac{m^2}{(m-1)^2 + (m+1)^2 - 2}$

$ \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$

3a+5b = 3(1) +5(2) = 13

[Keehlzver]

เอกลักษณ์จริงๆเป็นแบบนี้ครับ

$p^3+q^3+r^3=3pqr+(p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp)$

นั่นคือเหตุผลที่ได้คำตอบไม่ตรงกันครับ

ปล.อาจารย์แฟร์ฝึกใช้ Latex หน่อยดีไหมครับ

[banker]

ข้อ ก. ลองทำ 11 พจน์ดูก่อน

$-1 - (-1)^1 -(-1)^2 -(-1)^3 -(-1)^4-(-1)^5-(-1)^6-(-1)^7-(-1)^8-(-1)^9-(-1)^{10}...$

$= (-1) +1 -1 +1 -1+1-1+1-1+1-1...$

มี 101 พจน์ 100 พจน์หลังหักล้างกันหมด จึงเหลือ พจน์แรก = -1

ข้อ ก. จึงผิด

ข้อ ข.

$\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)}$

พจน์แรก n = 2 จะได้

$ n = 2 \ \ \to \ \frac{2}{2(2+1)} = 2 (\frac{1}{2 \times 3}) =2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

$ n = 3 \ \ \to \ \frac{2}{3(3+1)} = 2 (\frac{1}{3 \times 4}) =2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$

$ n = 4 \ \ \to \ \frac{2}{4(4+1)} = 2(\frac{1}{4 \times 5}) =2 (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})$

.
.
$ n = 100 \ \ \to \ \frac{2}{100(100+1)} = 2 (\frac{1}{100 \times 101}) =2 (\frac{1}{100} - \frac{1}{101}) $

เมื่อนำมารวมกัน จะได้ $ 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{101} ) = \frac{100}{101}$

ข้อ ข . ก็ผิดด้วย

ผิดทั้ง ข้อ ก. และ ข้อ ข.