สอบถามสูตรของเซตครับ

[monster99]

ผมไปเจอสูตรมาว่า "$n(A\cap B \cap C) \geqslant n(A) + n(B) + n(C) - 2n(U)$" อยากรู้วิธีพิสูจน์ครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ monster99

ผมไปเจอสูตรมาว่า "$n(A\cap B \cap C) \geqslant n(A) + n(B) + n(C) - 2n(U)$" อยากรู้วิธีพิสูจน์ครับ

$n(A\cap B \cap C)=n(A U BUC)-n(A)-n(B)-n(C)+n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(C\cap A)$

$=n(A)+n(B)+n(C) - [2[n(A)+n(B)+n(C)]-[n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(C\cap A)+n(AUBUC)]]$

$=n(A)+n(B)+n(C) - [n(AUB)+n(BUC)+n(CUA)-n(AUBUC)]$

$=n(A)+n(B)+n(C) - [ก้อนก้อนนึงที่มันเขียนยาวแต่ไม่ถึง 2n(U)]$

$\geqslant n(A) + n(B) + n(C) - 2n(U)$

ลองวาดรูปดูอะครับตรงบรรทัดเกือบสุดท้าย ไว้ถ้าหาอะไรดีๆมาแทนที่บรรทัดลองสุดท้ายได้จะมาบอกใหม่ครับ

********แก้ไขเพิ่มเติม [ก้อนก้อนนึงที่มันเขียนยาวแต่ไม่ถึง 2n(U)] คือรูปที่วาดให้ดูอะครับ

[กิตติ]

ผมเริ่มจากตรงนี้ครับ
$(A\cap B \cap C)\cup (A\cap B \cap C)'= U$
$n(U)=n(A\cap B \cap C)+n(A\cap B \cap C)'$ เพราะ $(A\cap B \cap C)\cap (A\cap B \cap C)'=\varnothing $

$n(A\cap B \cap C)'=n(A'\cup B' \cup C')$
$=n(A')+n(B')+n(C')-n(A'\cap B')-n( B' \cap C')-n(A'\cap C')+n(A'\cap B' \cap C')$
$=3n(U)-n(A)-n(B)-n(C)-n(A'\cap B')-n( B' \cap C')-n(A'\cap C')+n(A'\cap B' \cap C')$

$n(U)-n(A\cap B \cap C)'=n(A\cap B \cap C)$
$n(A\cap B \cap C)=n(A)+n(B)+n(C)-2n(U)+n(A'\cap B')+n( B' \cap C')+n(A'\cap C')-n(A'\cap B' \cap C')$

ถ้าพิสูจน์ได้ว่า $n(A'\cap B')+n( B' \cap C')+n(A'\cap C')-n(A'\cap B' \cap C') \geqslant 0$
เราจะสรุปได้ว่า $n(A\cap B \cap C) \geqslant n(A) + n(B) + n(C) - 2n(U)$

มองให้ $M=A'\cap B',N=B' \cap C',O=A'\cap C'$ จะได้ว่า $M\cap N \cap O=A'\cap B' \cap C'$
$n(M)+n(N)+n(O)\geqslant n(M\cap N \cap O)$.....ตรงนี้ก็เห็นได้ชัดๆว่าเป็นจริง
ดังนั้นน่าจะใช้สรุปได้ว่า
$n(A\cap B \cap C) \geqslant n(A) + n(B) + n(C) - 2n(U)$

[Di[s]-Stepz]

ใช้ Bonferroni Inequalities ได้ปะครับ