tan20tan40tan60tan80

[tonklaZolo]

จงหาผลคูณของ $\tan 20^{o}\tan 40^{o}\tan 60^{o}\tan 80^{o}$

[cardinopolynomial]

ตอบ 3
$Hint \sqrt{3}\frac{sin20sin40sin80}{cos20cos40cos80} $

[Suwiwat B]

$$sin20^\circ sin40^\circ sin80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}$$
$$cos20^\circ cos40^\circ cos80^\circ = \frac{1}{8}$$
ดังนั้น $tan20^\circ tan40^\circ tan60^\circ tan80^\circ $
$= \frac{sin20^\circ sin40^\circ sin80^\circ}{cos20^\circ cos40^\circ cos80^\circ} \times tan60^\circ$
$= \sqrt{3}\sqrt{3}$
$= 3$

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

$$sin20^\circ sin40^\circ sin80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}$$

อธิบายให้หน่อยครับ คิดไม่ออกครับ

[sahaete]

ใช้เอกลักษณ์ ผลคูณ เป็นผลบวก

$\begin{array}{l}
\sin 20^\circ \sin 40\sin 80\quad \quad \quad from\quad \sin x\sin y = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x - y} \right) - \cos \left( {x + y} \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {20 - 40} \right) - \cos \left( {20 + 40} \right)} \right]\sin 80\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( { - 20} \right) - \cos \left( {60} \right)} \right]\sin 80\quad \quad \quad \quad from\quad \cos \left( { - x} \right) = \cos x\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos 20 - \frac{1}{2}} \right]\sin 80\\
= \frac{1}{2}\left[ {\sin 80\cos 20 - \frac{1}{2}\sin 80} \right]\quad \quad \quad \quad from\quad \sin x\cos y = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {x + y} \right) + \sin \left( {x - y} \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\sin 100 + \sin 60} \right) - \frac{1}{2}\sin 80} \right]\quad \quad from\quad \sin 100 = \sin \left( {180 - 80} \right) = \sin 80\\
= \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\sin 80 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \frac{1}{2}\sin 80} \right]\\
= \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 80 + \frac{{\sqrt 3 }}{4} - \frac{1}{2}\sin 80} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}
\end{array}$

[tonklaZolo]

ขอคารวะครับ

[Keehlzver]

http://en.wikipedia.org/wiki/Morrie%27s_law

ตามนี้ครับ มาจาก Morrie's law

[cardinopolynomial]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

http://en.wikipedia.org/wiki/Morrie%27s_law

ตามนี้ครับ มาจาก Morrie's law

เจ๋งดีครับ ขอบคุณครับ