ปัญหา algebra ช่วยทีครับ

[issac]

ให้ $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ คือรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดของ
$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$
แล้วค่าของ $\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}+\frac{1}{x_3-1}+\frac{1}{x_4-1}+\frac{1}{x_5-1}+\frac{1}{x_6-1}$ เท่ากับเท่าใด

ช่วยแสดงวิธีทำหรือ hint วิธีทำคร่าวๆ ให้ดูหน่อยครับ

[gon]

ใช้ทฤษฎีสมการครับ สมการที่ให้มาสมมูลกับ $x^7-1 = 0$ เมื่อ $x \ne 1$ ...(*)

จากนั้นสมมติให้ $y = \frac{1}{x-1}$ จะได้ $x = \frac{1+y}{y}$ นำไปแทนค่าในสมการ (*)

เมื่อจัดรูปเสร็จ ก็ดูสัมประสิทธิ์ของ $y^5$ เป็นคำตอบครับ

[issac]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ใช้ทฤษฎีสมการครับ สมการที่ให้มาสมมูลกับ $x^7-1 = 0$ เมื่อ $x \ne 1$ ...(*)

จากนั้นสมมติให้ $y = \frac{1}{x-1}$ จะได้ $x = \frac{1+y}{y}$ นำไปแทนค่าในสมการ (*)

เมื่อจัดรูปเสร็จ ก็ดูสัมประสิทธิ์ของ $y^5$ เป็นคำตอบครับ

บรรทัดแรกผมเข้าใจว่า $x^7-1 = 0$ สมมูลกับ $(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0$
แต่บรรทัด 2 กับ 3 นี่ยังไม่เข้าใจ ขอคำอธิบายเพิ่มเติมหน่อยครับ ขอบคุณมากครับ

[จูกัดเหลียง]

#3 ที่พี่ gon อธิบายหมายถึงเราเเทนค่า $y=\dfrac{1}{x-1}$ ได้ครับ เพราะ $x\not=1$ พอเเทนใน $(*)$ เเล้วจะได้ว่า
$\dbinom{7}{1}y^6+\dbinom{7}{2}y^5+...+1=0$ จริงไหมครับ เเละผลบวกของรากก็คือ ส.ป.ส ของ $y^5$ นั่นเอง

[gon]

การสมมติให้ $y = \frac{1}{x-1}$ จะเหมือนกับเราให้$$y_1=\frac{1}{x_1-1}, y_2=\frac{1}{x_2-1}, ... , y_6 =\frac{1}{x_6-1}$$
และสมการ $y^6+a_5y^5 + a_4y^4 + ... + a_1y + a_0 = 0$

ถ้ารากของสมการนี้คือ $y_1, y_2, ... , y_6$ จะได้ว่า $y_1+y_2+...+y_6 = -a_5$

ถ้ายังงงอยู่แสดงว่าต้องศึกษาเรื่อง ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ (Vieta's formulas)

หรือพิมพ์คำว่า
site:mathcenter.net/forum ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์

ลงใน google ดูนะครับ

[nooonuii]

อีกวิธีคือใช้สมบัติที่ว่ารากทั้ง $6$ จะมีคู่ conjugate ดังนั้นสามารถเขียนรากทั้ง $6$ ได้เป็น

$z_1,z_2,z_3,\overline{z_1},\overline{z_2},\overline{z_3}$

แต่ทั้งหมดเป็นรากที่ $7$ ของ $1$ จึงได้ $\overline{z_i}=\dfrac{1}{z_i}$

จากนั้นก็ลองหาค่าของ $\dfrac{1}{1-z_i}+\dfrac{1}{1-\overline{z_i}}$ ดูครับ