ช่วยด้วยค่ะ พิสูจน์การเป็นผลเเบ่งกั้น

[Being]

ให้ E , S เป็นเซตไม่ว่าง f : E\rightarrow S แล้ว\{f^{-1}(t) | t\in S และ f^{-1}(t) \not= \varnothing \} เป็นผลเเบ่งกั้นของ E

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Being

ให้ $E,S$ เป็นเซตไม่ว่าง $f : E\rightarrow S$ แล้ว $E_t=\{f^{-1}(t) \mid t\in S$ และ $f^{-1}(t) \not= \varnothing \}$ เป็นผลเเบ่งกั้นของ $E$

จะพิสูจน์ผลแบ่งกันต้องพิสูจน์สองอย่างคือ

1. $\displaystyle E=\bigcup_{t\in S} E_t$

2. ถ้า $s\neq t$ แล้ว $E_s\cap E_t=\emptyset$

[art_clex]

1. ให้ $x\in E$ เนื่องจาก $f:E\to S$ จะมี $s\in S$ ซึ่ง $f(x)=s$ ดังนั้น $x\in f^{-1}(x)$
2. ให้ $s,t\in S $ ซึ่ง $s\not= t$
สมมติว่า $f^{-1}(s)$ และ $f^{-1}(t)$ ไม่เป็นเซตว่าง
ให้ $x\in f^{-1}(s)$ จะได้ว่า $f(x)= s$ เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชัน $ f(x) =s \not= t $ ดังนั้น $x$ ไม่เป็นสมาชิก $f^{-1}(s)$