เรขาคณิต หามุม AOB

[hulamath]

ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า D และ E เป็นจุดบนด้าน AB และ AC ตามลำดับ ลาก BE และ CD ตัดกันที่ O จงหาขนาดของมุม AOB เมื่อกำหนด AD : DB = 2 : 1 และ AE : EC = 1 : 2

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ hulamath

ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า D และ E เป็นจุดบนด้าน AB และ AC ตามลำดับ ลาก BE และ CD ตัดกันที่ O จงหาขนาดของมุม AOB เมื่อกำหนด AD : DB = 2 : 1 และ AE : EC = 1 : 2

Solutionแบบดุดัน

ให้จุด B มีพิกัด (0, 0) และ C(2a, 0) จะได้จุด $A(a, \sqrt{3}a)$

ต่อ AO ไปตัด BC ที่ F จะได้ BF : FC = 1:4

และจะได้พิกัดของ O คือ $(\frac{4a}{7}, \frac{2\sqrt{3}a}{7})$

โดยกฎของโคไซน์จะได้ว่า $\cos AOB = \frac{\frac{12a^2}{7} + \frac{4a^2}{7}- 4a^2}{2\frac{\sqrt{12}a\sqrt{4}a}{7}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \angle AOB = 150^{\circ}$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ hulamath

ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า D และ E เป็นจุดบนด้าน AB และ AC ตามลำดับ ลาก BE และ CD ตัดกันที่ O จงหาขนาดของมุม AOB เมื่อกำหนด AD : DB = 2 : 1 และ AE : EC = 1 : 2

Solution แบบนุ่มนวล

จะได้ว่า $\triangle BCD \cong \triangle ABE, \ \therefore \angle BDC = \angle AEB$
ทำให้ สี่เหลี่ยม ADOE มีวงกลมล้อมรอบ
ให้ F เป็นจุดกึ่งกลางของ AD จะได้ว่า FE = FA = FD จะได้ว่าจุด F เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ สี่เหลี่ยม ADOE และมี AD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
และทำให้ $ \angle ADE = 30^o $ แต่ $ \angle ADE = \angle AOE = 30^o $
ดังนั้น $ \angle AOB = 150^o $

หรืออาจทำอีกแบบโดยการหามุม $ \angle BOD = 60^o $ ซึ่งพิสูจน์ได้ไม่ยากจาก $\triangle BCD \cong \triangle ABE$
แล้วก็บวกกับ $ \angle AOD = 90^o $ ซึ่งเป็นมุมบนครึ่งวงกลม