โจทย์ เลขยกกำลัง ยากจัง

[sornchai]

ถ้า $2^{1/2 }$ด$ 4^{1/4 } $ด$8^{ 1/8 } $ด.....ด$1024^{1/1024 } $ สามารถเขียนในรูป $2^{ 2*a/b} $ จงหาค่าของ a-b+1
ก.600 ข.700 ค.800 ง.900 ช่วยอธิบายวิธีทำด้วยนะครับ

[nooonuii]

แปลงทุกอย่างให้เป็นฐาน 2 แล้วบวกเลขชี้กำลังครับ

[bell18]

ผมคิดได้ 2 ยกกำลัง 2 - (3/256) ครับ

[sornchai]

ขอโทษตัวเลือกผิดครับ ก. -250 ข. -252 ค. -254 ง. -256

[sornchai]

ผมยังทำไม่ได้อยู่ดีครับ ช่วยบอกหน่อย

[sornchai]

$ 2^{1/2 }=2^{2{ }^{ 1/4} } $
$4^{1/4 }=2^{ 2{ } ^{2/8 }} $
$ 8^{ 1/8 }=2^{2{ }^{3/16 } } $
.....................................................
$1024^{ 1/1024 } =2^{2{ }^{10/2048 } } $
ใช่หรือเปล่าครับ แล้วทำยังไงต่อ

[M@gpie]

ข้อความเดิมของคุณ sornchai:
ถ้า $2^{1/2 }$ด$ 4^{1/4 } $ด$8^{ 1/8 } $ด.....ด$1024^{1/1024 } $ สามารถเขียนในรูป $2^{ 2*a/b} $ จงหาค่าของ a-b+1
ก.600 ข.700 ค.800 ง.900 ช่วยอธิบายวิธีทำด้วยนะครับ

\[2^{\frac{1}{2}}\times 4^{\frac{1}{4}} \times 8^{\frac{1}{8}} \times ... \times 1024^{\frac{1}{1024}} = 2^{\frac{1}{2^1}}\times 2^{\frac{2}{2^2}} \times 2^{\frac{3}{2^3}} \times ... \times 2^{\frac{10}{2^{10}}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+ ... +\frac{10}{2^{10}}} \]
หาผลบวกข้างบนให้ได้ แต่ผมว่าน่าจะมีเงื่อนไขของ $a,b$ มาให้อีกหน่อย เพราะว่า $a,b$ เป็นไปได้หลายตัวมากครับ

[Mastermander]

\[
2^{1/2} \times 4^{1/4} \times ... \times 1024^{1/1024} = 2^{2a/b}
\]
\[
2^{1/2} \times 2^{2/4} \times ... \times 2^{10/1024} = 2^{2a/b}
\]
ให้ \[
S_n = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + ... + \frac{n}{{2^n }}
\]
\[
2S_n = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + ... + \frac{n}{{2^{n - 1} }}
\]
เอามาลบกันโดยเอาที่ส่วนเหมือนกันมาลบกัน
\[
2S_n - S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^{n - 1} }} - \frac{n}{{2^n }}
\]
\[
S_n = \frac{{1 - \frac{1}{{2^n }}}}{{1 - \frac{1}{2}}} - \frac{n}{{2^n }} = 2 - \frac{{n + 2}}{{2^n }}
\]
จากโจทย์ $$2^{S_{10}}=2^{2a/b}$$

คงทำต่อเองได้แล้วนะครับ

หมายเหตุ: เครื่องหมายคูณใน Latex ใช้คำสั่ง \times

[sornchai]

คุณ Mastermander สำหรับข้อนี้ช่วยฟันธงเลยได้เปล่าครับว่าตอบข้อไหนเป็นข้อสอบประกายกุหลาบปี 50 ตอนที่ 1 ข้อที่ 12

ก. -250 ข. -252 ค. -254 ง. -256

[Mastermander]

ถ้าเป็น $2^{a/b}$ และโจทย์ถามว่า b - a + 1 จะได้ -252

[sornchai]

คุณ Mastermander ครับโจทย์ถามว่า a-b+1 ไม่ใช่ b-a+1 ส่วนช้อยทั้ง 4 ตัวเลือกผมก็ตรวจทานหมดแล้วครับไม่ผิด ขอบคุณมากครับที่เสียลสะเวลามาช่วยคอบคำถาม

[Mastermander]

อ่อ...

โจทย์น่าจะเป็น $2^{2-\frac{a}{b}}$ มากกว่า เพราะมันได้คำตอบพอดี

จะได้ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{256}$

$a-b+1=3-256+1=-252$

[sornchai]

ใช่แล้วครับ โจทย์ที่ผมปริ้นท์ออกมาตัวหนังสือมันเล็กมากระหว่าง 2 กับ a/b มันมี . (ครื่องหมายคูณ) หรือ - (เครื่องหมายลบ) คั่นอยู่ คุณเก่งมากครับขนาดโจทย์ผิดยังรู้ต้องขอโทษด้วยและขอบคุณมาก

[RedfoX]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
อ่อ...

โจทย์น่าจะเป็น $2^{2-\frac{a}{b}}$ มากกว่า เพราะมันได้คำตอบพอดี

จะได้ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{256}$

$a-b+1=3-256+1=-252$

ข้อติงนิดนะครับ คือสงสัยนะ
\[
\frac{a}{b} = \frac{x}{y}
\]
แล้วเราสามารถสรุปได้ด้วยหรือว่า a=x & b=y

[Mastermander]

ไม่สามารถสรุปได้ครับ แต่โจทย์ข้อนี้ไม่ได้กำหนดมาว่า a/b ต้องเป็นอะไร แต่ช้อยเป็นตัวกำหนดในข้อนี้ครับ