เรื่อง arctan ครับ

[สๅEaมllx'JควๅมxวัJ]

$arctan2+arctan3$ มีวิธีคิดยังไงอ่ะครับ
ช่วยอธิบายแบบละเอียดเลยนะครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[gon]

ใช้สูตร "ความลับสวรรค์" แทนค่าตามที่ผมเขียนไว้นี้นะครับ

arccot(x)+arccot(y) มีสูตรว่าอะไร

[สๅEaมllx'JควๅมxวัJ]

ขอบคุณครับ แต่เราทำไมถึงต้อง บวกเพิ่มอีก $\pi$ อ่ะครับ

[gon]

ถ้าตอบแบบหยาบ ๆ $\arctan 2 > 0$ และ $\arctan 3 > 0$

ดังนั้น $\arctan 2 + \arctan 3 > 0$ แน่นอน

แต่ถ้าใช้สูตรที่ไม่ถูกต้องคือ ไม่มีบวก $\pi$ จะได้ $\arctan (-1) = -\pi/4 < 0$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ถ้าอธิบายแบบละเอียดมากกว่าเดิม ก็คือหาสูตรที่ถูกต้องมาให้ได้ดังที่เขียนครับ ซึ่งจะเริ่มจาก


ถ้า $\tan A = \tan B$ แล้วจะได้ว่า $A - B = n\pi ... (*)$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

ดังนั้น เนื่องจาก $\tan (\arctan \frac{x+y}{1-xy}) = \frac{x+y}{1-xy} ... (1)$

และ $\tan (\arctan x + \arctan y) = \frac{x+y}{1-xy} ... (2)$

จาก (1), (2) และ (*) จึงได้ว่า $\arctan x + \arctan y - \arctan \frac{x+y}{1-xy} = n\pi$

นั่นคือ $\arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x+y}{1-xy} + n\pi$

ที่เหลือก็คือการแสดงว่า n ที่เป็นไปได้คือ -1, 0, 1 ซึ่งการพิสูจน์ทั้งหมด

ถ้าเขียนออกมาก็จะมีประมาณ 5 หน้าครับ.

[สๅEaมllx'JควๅมxวัJ]

ว้าว เริ่มเข้าใจขึ้นมากเลยครับ ขอบคุณมากนะครับ