Trigon

[KnuckleS]

กำหนดให้ $\frac { \sin { x } }{ \sin { y } } =3$ และ $\frac { \cos { x } }{ \cos { y } } =\frac { 1 }{ 2 } $
จงหาค่าของ $\frac { \sin { 2x } }{ \sin { 2y } } +\frac { \cos { 2x } }{ \cos { 2y } } $

[KnuckleS]

อีกข้อนึงค่ะ
ให้ $A=\left( 1-4\sin ^{ 2 }{ \frac { \pi }{ 5 } } \right) \left( 1-4\sin ^{ 2 }{ \frac { 3\pi }{ 5 } } \right) $
จงหาค่าของ $A+{ A }^{ 2 }+A^{ 4 }+{ A }^{ 8 }$

[Aquila]

จขกท.ลองมองแบบนี้ดูนะ
$\frac { \sin { 2x } }{ \sin { 2y } } +\frac { \cos { 2x } }{ \cos { 2y } } =\frac{3}{2}+\frac{2\cos^2 { x }-1}{8\cos^2 { x }-1}$
แล้วไปแก้หา $\cos{x}$ เอามาแทน
(หาแบบคห.ข้างบนแหละ แต่ไม่ต้องหาทุกตัว)

ข้อสอง ถ้ารู้ว่า $\cos{\frac{2\pi}{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ เอาไปแทนก็จบ
(แต่ถ้าไม่รู้ใช้เชิงซ้อนแก้ก็ได้)

ให้ $z=\cos{\frac{\pi}{5}}+i\sin{\frac{\pi}{5}}$
จะได้ $\sin{\frac{\pi}{5}}=\frac{z-\overline{z}}{2i}$
และ $\sin{\frac{2\pi}{5}}=\frac{z^2-\overline{z^2}}{2i}$
เอา $2i$ ขึ้นไปคูณจัดรูปหา $A$
จะได้ $A=(1+(z-\overline{z})^2)(1+(z^2-\overline{z^2})^2)$
กระจายแล้วใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $z\cdot \overline{z}=1$
และ $z^6+\overline{z^6}-z^4-\overline{z^4}=0$
มันจะได้ $A=1$ เพราะฉะนั้นได้ $4$ เป็นคำตอบ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ KnuckleS

อีกข้อนึงค่ะ
ให้ $x=\left( 1-4\sin ^{ 2 }{ \frac { \pi }{ 5 } } \right) \left( 1-4\sin ^{ 2 }{ \frac { 3\pi }{ 5 } } \right) $
จงหาค่าของ $x+{ x }^{ 2 }+x^{ 4 }+{ x}^{ 8 }$

ข้อนี้เป็นโจทย์แนวผลคูณครับ. ซึ่งมีหลักการอยู่ที่ว่า จัดรูปให้สวย แล้วตัด ๆ

อย่างข้อนี้ ถ้าเรามองว่า $1 - 4\sin^2 A = 1 - 4(1 - \cos^2 A) = 4\cos^2 A - 3 = \frac{\cos 3A}{\cos A}$

ก็จะได้ว่าโจทย์ $x = \frac{\cos 3A}{\cos A} \cdot \frac{\cos 9A}{\cos 3A} = \frac{\cos 9A}{\cos A} = \frac{\cos \frac{9\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} = 1$

ถ้าสนใจก็ลองดูอีกตัวอย่างในข้อ 1. ของหัวข้อนี้ครับ.

เรื่องตรีโกณครับ งงทุกข้อ

สองข้อนี้แถมครับ คิดแบบเดียวกัน

$1. (1-\tan^2 \frac{\pi}{7})(1-\tan^2 \frac{2\pi}{7})(1-\tan^2 \frac{3\pi}{7})$

$2. (1+\frac{2\cos \frac{\pi}{7}}{\cos \frac{3\pi}{7}})(1+\frac{2\cos \frac{3\pi}{7}}{\cos \frac{9\pi}{7}})(1+\frac{2\cos \frac{9\pi}{7}}{\cos \frac{27\pi}{7}})$

ปล. โจทย์แนวนี้คนแต่งโจทย์ง่ายครับ แต่คนคิดยาก

[KnuckleS]

ขอบคุณทุกความเห็นเลยนะคะ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

$1. (1-\tan^2 \frac{\pi}{7})(1-\tan^2 \frac{2\pi}{7})(1-\tan^2 \frac{3\pi}{7})$

ข้อนี้ได้ 8 รึเปล่าคะ? จากการจัดรูป $1-\tan ^{ 2 }{ \Box } =\frac { \cos { 2\Box } }{ \cos ^{ 2 }{ \Box } } $

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

$2. (1+\frac{2\cos \frac{\pi}{7}}{\cos \frac{3\pi}{7}})(1+\frac{2\cos \frac{3\pi}{7}}{\cos \frac{9\pi}{7}})(1+\frac{2\cos \frac{9\pi}{7}}{\cos \frac{27\pi}{7}})$

ข้อนี้ได้ -1 รึเปล่าคะ? จากการจัดรูป $1+\frac { 2\cos { \Box } }{ \cos { 3\Box } } =\frac { \sin { 3\Box } }{ \sin { \Box } } \cdot \frac { \cos { \Box } }{ \cos { 3\Box } } $

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ KnuckleS

ขอบคุณทุกความเห็นเลยนะคะ

ข้อนี้ได้ 8 รึเปล่าคะ? จากการจัดรูป $1-\tan ^{ 2 }{ \Box } =\frac { \cos { 2\Box } }{ \cos ^{ 2 }{ \Box } } $

ข้อนี้ได้ -1 รึเปล่าคะ? จากการจัดรูป $1+\frac { 2\cos { \Box } }{ \cos { 3\Box } } =\frac { \sin { 3\Box } }{ \sin { \Box } } \cdot \frac { \cos { \Box } }{ \cos { 3\Box } } $

ถูกทั้งสองข้อครับ.

แต่ดูเหมือนจะอ้อมไปนิดนึง อย่างข้อ 1. ถ้าจัดเป็น $\frac{2\tan A}{\tan 2A}$

กับข้อ 2. ถ้าจัดเป็น $\frac{\tan 3A}{\tan A}$

ก็จะคิดได้เร็วขึ้นกว่าเดิมครับ.

[KnuckleS]

ขอบคุณค่ะ