ลิมิต

[i^i]

ขอเเนวการจับคู่ ดึงตัวร่วมหน่อยครับ
ปล. ไม่ขอโลปิตาลน่ะครับ

[nooonuii]

$\dfrac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}=\dfrac{1+2x-\sqrt[3]{(1+3x)^2}}{x^2(\sqrt{1+2x}+\sqrt[3]{1+3x})}$

$=\dfrac{(1+2x)^3-(1+3x)^2}{x^2(\sqrt{1+2x}+\sqrt[3]{1+3x})((1+2x)^2+(1+2x)\sqrt[3]{(1+3x)^2}+\sqrt[3]{(1+3x)^4})}$

ลองทำต่อดูนะ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ขอเพิ่มวิธี L'Hospital แล้วกันนะครับ
ดิฟสองครั้ง
ครั้งที่1: จะได้ $\dfrac{1/2(2x+1)^{-1/2} \times 2-1/3(3x+1)^{-2/3} \times 3}{2x}$

ครั้งที่ 2: จะได้ $\dfrac{-1/2(2x+1)^{-3/2} \times 2+2/3(3x+1)^{-5/3} \times 3}{2}$
แทนค่าเข้าไปได้ $\dfrac{1}{2}$

[k.non]

$\displaystyle{\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x} }{x^2}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{1+2x}-(1+x)+(1+x)-\sqrt[3]{1+3x} }{x^2}}$
$=\displaystyle{\frac{\sqrt{1+2x}-(1+x)}{x^2}+\frac{(1+x)-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}}$
$=\displaystyle{-\frac{1}{\sqrt{1+2x}+(1+x)}+\frac{x+3}{(1+x)^2+(1+x)\cdot \sqrt[3]{1+3x}+(\sqrt[3]{1+3x})^2}}$
ที่เหลือก็แทน $x$ เป็น $0$ ตอบ $\frac{1}{2}$ ครับ