จำนวนเชิงซ้อน

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกันและอยู่บนวงกลมหน่วย
ถ้า $a+b+c=0$ จงหาพื้นที่ $\triangle abc$

[nooonuii]

คำตอบไม่ควรเป็นตัวเลขนะครับ สามเหลี่ยมบนวงกลมหนึ่งหน่วยมีได้เยอะแยะไม่จำเป็นต้องมีพื้นที่เท่ากันครับ

คำตอบจะติดอยู่ในรูป $a,b,c$ และสังยุคอีกสามตัว แต่คำตอบไม่สวยเลยครับ หรือผมจัดรูปไม่ตรงก็ไม่รู้

[tngngoapm]

จาก...........$a+b+c=0$
$a+b=-c$
$|a+b|=|-c|$
$|a+b|=1$
$|a+b|^2=1$
$|a|^2+|b|^2+2|a||b|cos\theta=1$........[เมื่อ $\theta$ เป็นมุมระหว่าง aและ b]
$1+1+2cos\theta=1$
$cos\theta=\frac{-1}{2}$
$\theta=120^{\circ}$
......จำนวนเชิงซ้อน a,b และ c
....a ทำมุมกับ b $120^{\circ}$
....b ทำมุมกับ c $120^{\circ}$
....c ทำมุมกับ a $120^{\circ}$
สามเหลี่ยม abc จึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ.......$|a-b|$
$|a-b|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cos120^{\circ}$
$|a-b|^2=1+1+1$
$|a-b|^2=3$
$|a-b|=\sqrt{3}$
$\therefore$สามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ $\sqrt{3}$ หน่วย
.......พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า $=\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3}^2)=\frac{3\sqrt{3}}{4} $ตารางหน่วยครับ