พื้นที่ปิดล้อมด้วย y=x^n

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ช่วยข้อนี้หน่อยครับ

สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม $n \geqslant 2$ ให้ $f_n:[0,\infty)\rightarrow \mathbf{R} $

นิยามกำหนดโดย
$f_n(t) =A_n(t); t>0$ หรือ $f_n(t)=0; t=0$

เมื่อ $A_n(t)$ แทนพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $y=x^n$ และเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดที่มีความชัน $t^{n-1}$
แล้ว $\displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n-1}^\frac{1}{n+2}}\,f_n(t)dt$

[tngngoapm]

เข้าใจตั้งโจทย์นะครับ........แกะออกมาแล้วได้
$\sum_{n = 2}^{\infty}$ $\frac{1}{2(n+1)(n+2)}= \frac{1}{6}$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ทำยังไงหรอครับ ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[อัศวินมังกรแดง]

$f_n(t) =A_n(t); t>0$ หรือ $f_n(t)=0; t=0$
เมื่อ $A_n(t)$ แทนพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $y=x^n$ และเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดที่มีความชัน $t^{n-1}$
คือพ.ท.ระหว่าง $y=x^n$และ$y=t^{n-1}x$ จุดตัดคือ $x=0,t$
$f_n(t)=A_n(t)=\int_{0}^{t}\,t^{n-1}x-x^ndx =[\frac{t^{n-1}x^2}{2}-\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^t = \frac{t^{n+1}}{2}-\frac{t^{n+1}}{n+1}=t^{n+1}(\frac{n-1}{2(n+1)})$
แล้ว $ \sum_{n = 2}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n-1}^\frac{1}{n+2}}\,f_n(t)dt= \sum_{n = 2}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n-1}^\frac{1}{n+2}}\,t^{n+1}(\frac{n-1}{2(n+1)})dt= \sum_{n = 2}^{\infty} [t^{n+2}(\frac{n-1}{2(n+1)(n+2)})]_{0}^{\frac{1}{n-1}^\frac{1}{n+2}}$
$=\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{2(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}(\sum_{n = 2}^{\infty}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}))=\frac{1}{6}$