Cambridge?s Mathematical Tripos

[Switchgear]

เพื่อนผู้รักคณิตศาสตร์ที่ได้อ่านหนังสือ "รามานุจัน: อัจฉริยะไม่รู้จบ" คงเจอการพูดถึงความโหดของการสอบ
แข่งขันคณิตศาสตร์ใน Cambridge ที่เรียกว่า Mathematical Tripos โดยตลอดเกือบทั้งเล่ม

ระหว่างที่ผมอ่านหนังสือรามานุจัน มีความรู้สึกอยากเห็นข้อสอบ Tripos ที่ว่านี้เหลือเกินว่ามันจะยากซักแค่ไหน
ตอนนี้ผมได้เห็นชุดข้อสอบปี 1913-1917 แล้ว ... และผมจะนำมาให้เพื่อนได้ชมกันในกระทู้นี้

การสอบนี้เป็นการสอบต่อเนื่องหลายวัน แบ่งเป็นช่วงเช้า 3 ชั่วโมง 10 ข้อ และบ่ายอีก 3 ชั่วโมง 10 ข้อเช่นกัน
แต่เนื่องจากเนื้อหารวมการประยุกต์คณิตศาสตร์กับกลศาสตร์ด้วย ซึ่งคนส่วนใหญ่อาจไม่เคยเรียน ผมจึงตัดข้อที่
ไม่ใช่คณิตศาสตร์ล้วนๆ ออกไป (หลายข้อมีรูปประกอบด้วย ยิ่งยุ่งยากที่จะเอามาโพสต์ และคงมีคนสนใจน้อย)

ผมมีแต่ตัวข้อสอบ ก็หวังว่าคนเก่งคณิตศาสตร์ที่แวะมาเยือนกระทู้นี้ จะช่วยกันเฉลยให้คนอื่นได้อ่านกัน
.

[Switchgear]

THURSDAY, 29 May 1913, 9:00-12:00

1. Prove that the opposite Angles of a quadrilateral inscribed in a circle are together equal to two right angles. The sides $AB, DC$ of a quadrilateral $ABCD$ meet at $E$ and the sides $AD, BC$ meet at $F$. Prove that the circles described about the four triangles $ABF, BCE, CDF$ and $DAE$ intersect in a point. Prove further that, if $ABCD$ is cyclic, the point of intersection of the circles lies on $EF$.

2. Prove that the tangent to an ellipse makes equal angles with the focal distances of the point of contact. $SP, S''P'$ are focal radii of an ellipse drawn in the same direction and the tangents at $P$ and $P'$ meet $S''P' , SP$ in $Q'$ and $Q$ respectively. Prove that $QQ'$ is parallel to $PP'$.

3. (i) Solve the equations $x(1-y) = y(1-z) = z(1-x) = c$ in the case $c = 2$ ; and prove that the solution is indeterminate when $c = 1$.
(ii) The equation $A(x-p)^2+B(x-q)^2 = ax^2+2bx+c$
is to be an identity for all values of $x$; determine $A, B, q$ in terms of $a, b, c, p,$ verifying that $A = (ac-b^2)/(ap^2+2bp+c)$.

4. Write down the series, in powers of $x$ and $y$ respectively, for (1) $\sin x$; (2) $log(1+y)$.
Deduce that, when $x$ is small, $log(\sin x) = logx-x^2/6-x^4/180$ approximately.
Obtain the tabular value for the $log(\sin5^\circ)$, using the approximations $log_{10}e = 0.4343, \pi = 3.1416$.

5. Prove that if $A + B + C= 2\pi$
(1) $\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C-2\cos A\cos B\cos C = 1$;
(2) $\sin A+\sin B+\sin C = 4\sin{\frac A2}\sin{\frac B2}\sin{\frac C2}$;
(3) $\sin^3A+\sin^3B+\sin^3C = 3\sin{\frac A2}\sin{\frac B2}\sin{\frac C2}-\sin{\frac{3A}2}\sin{\frac{3B}2}\sin{\frac{3C}2}$.

6. From a certain station $A$ the angular elevation of a mountain peak $P$ to the north is $\alpha$. A hill $B$ of height $h$ above $A$ is ascended. From $B$ the angular elevation of $P$ is $\beta$, the bearing of $A$ is $\delta$ west of south, and the bearing of $P$ is $\gamma$ north of $A$. Shew that the height of $P$ above $A$ is
$$\frac{h\;\tan{\alpha}\;\sin{\gamma}}{\tan{\alpha}\;\sin{\gamma}-\tan{\beta}\;\sin{\delta}}$$

7. Apply the method of integration by parts to evaluate $\int {\log xdx} ,\int {x\log xdx} ,\int {xe^{ax} dx}$.
Shew that $\int_0^1 {x\log (1 + \frac12x)dx} = \frac34(1 - 2\log \frac32)$,
and prove in any way that this is less than $\int_0^1 {\frac12 x^2 dx}$.

8. If $y$ is of the form $ax^3 + bx^2 + cx + d$, and $y_1, y_2, y_3$ are the values of $y$ corresponding to values $x_1, x_2, x_3$ such that $x_2-x_1=x_3-x_2=h$,
prove that $\int_{x_1}^{x_2}{ydx} = \frac13 h (y_1+4y_2+y_3)$.
Deduce Simpson's rule for approximating to an integral
$\int_a^b{ydx} = \frac13 h \{ (y_1+4y_{2n+1})+4(y_2+y_4+...+y_{2n})+2(y_3+y_5+...+y_{2n-1}) \}$,
where $x_1=a,x_2=a+h,x_3=a+2h,...,x_{2n+1}=b=a+2nh$.

9. Find the equation of a plane through three points whose coordinates are given. Find the equations of the two planes through the points $(0, 4,-3), (6, -4, 3),$ other than the plane through the origin, which cut off from the axes intercepts whose sum is zero.

10. Find the condition that two diameters of an ellipsoid should be conjugate. Shew that any set of three equal conjugate diameters of the spheroid whose equation is $x^2/a^2+(y^2+z^2)/b^2 = 1$ lie on a right circular cone and that the cosine of the angle between any two is $(a^2-b^2)/(a^2+2b^2)$.

[Switchgear]

เป็นไงบ้างครับโจทย์ชุดแรกที่เอามาฝาก

[nongtum]

โจทย์ทั้งยากทั้งแปลลำบากเหมือนกันครับ แต่บางข้อก็ standard ครับ

ข้อ 6 ตรงที่ว่า the bearing of $A$ is $\delta$ west of south นี่เทียบกับจุดไหนครับ

[gon]

ขอลอง ข้อ 3(i) นะครับ.

จาก $z = \frac{c}{1- x}$
แต่ $y = \frac{c}{1 - z} = \frac{c}{1 - \frac{c}{1 -x}}$
ดังนั้น $ x = \frac{c}{1 - y} = \frac{c}{1 - \frac{c}{1 - \frac{c}{1 - x}}} $

นั่นคือ $ x = \frac{c}{1 - y} = \frac{c}{1 - \frac{c}{1 - \frac{c}{1 - \cdots}}} \quad (*)$
จึงได้ว่า $ x = \frac{c}{1-x}$

โดยความสมมาตรของตัวแปร เราจึงได้ว่า $ y = \frac{c}{1-y} , z = \frac{c}{1-z}$ เช่นกัน

นั่นคือ x = y = z เป็นรากของสมการ $t^2 - t + c = 0$

เมื่อ c = 2 จะได้ $x = y = z = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}$

และเมื่อ c = 1 จาก (*) ชัดเจนว่าอยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate form)
(ขอยืม math joke ของ top มาใช้หน่อย)

[Switchgear]

ผมกำลังเตรียมข้อสอบชุดที่สอง ซึ่งเป็นข้อสอบช่วงบ่ายของวันเดียวกับชุดแรกที่โพสต์ไป

เพื่อนๆ อย่าลืมติดตามอ่านและช่วยกันเฉลยด้วยนะครับ ...

[Switchgear]

น่าเสียดายที่ผมไม่มี Solutions ของโจทย์เหล่านี้ แต่ถ้าได้ครอบครองเมื่อไร ผมจะรีบนำมาโพสต์ให้ได้ศึกษากัน

ข้อสอบที่ผมมีอยู่ (ปี 1913-1917) จัดอยู่ในกลุ่มของ The Modern Math Tripos Exams ซึ่งถือว่าเป็นข้อสอบ
ที่ง่ายลงมากหากเทียบกับ The Old Cambridge Mathematical Tripos Examination ซึ่งกล่าวไว้ในหนังสือ
รามานุจัน ส่วนที่เกี่ยวกับการเตรียมตัวสอบของ Hardy และ Littlewood รวมทั้งเซียนคำนวณอีกหลายคน

เชื่อกันว่าข้อสอบที่โหดหินมากจะเป็นการสอบในช่วงปี 1820-1909 ก่อนนั้นอาจไม่โหดเท่า และหลังปี 1909 ก็ยกเลิก
ระบบจัดอันดับไป เพื่อลดความกดดันของผู้เข้าสอบ ข้อสอบจึงไม่เหี้ยมเท่าระบบเก่า

[Switchgear]

จากหนังสือเกี่ยวกับประวัติของการสอบ Tripos ส่วนใหญ่มักระบุว่า

ปี 1881 เป็นประวัติการณ์แห่งการสอบ Tripos: (เหี้ยมสุด)
ผู้สอบต้องทำข้อสอบแบบ 3 ชั่วโมง 18 ชุด (ชุดละ 10-12 ข้อ) แบ่งเป็นเช้า-บ่ายรวม 9 วันติดต่อกัน
คะแนนเต็มรวมทั้ง 18 ชุด คือ 33,541 คะแนน
ผู้ทำคะแนนสูงสุดของปีนั้น (Senior Wrangler) ทำได้ 16,368 คะแนน (ไม่ถึง 50%)
ผู้ที่ได้อันดับสอง (Second Wrangler) ทำได้เพียง 13,188 คะแนน
และอันดับโหล่สุดของกลุ่มที่ได้เกียรตินิยม (Wooden Spoon) ได้ไปแค่ 247 คะแนน

ใครหาชุดข้อสอบของปี 1881 ได้ รบกวนโพสต์ให้เพื่อนๆ ได้ชมเป็นขวัญตาด้วยครับ
.

[Switchgear]

ล่าสุดผมได้ข้อสอบทั้งหมดที่ใช้สอบในปี 1802 แล้ว ... ถ้ามีโอกาสจะเอามาโพสต์ให้ได้อ่านกัน
แต่ก็เช่นเคย คือ ผมหาเฉลยข้อสอบชุดนี้ไม่ได้

.

[Switchgear]

มาแล้วครับ ... ข้อสอบชุดที่ 2 เป็นของบ่ายวันเดียวกับชุดแรก


THURSDAY, 29 May 1913, 14:00-17:00

1. The sides of a triangle are cut by a transversal ; state and prove the relation between the segments into which the sides of the triangle are divided. A circle concentric with the circumcircle of the triangle $ABC$ cuts $AC$ in $E, E'$ and cuts $AB$ in $F, F'$. $EF, E'F'$ cut $BC$ in $D$ and $D'$ . Prove that $D$ and $D'$ are equidistant from the centre of the circle.

2. The section through the axis of a right circular cone whose vertex is $A$ is a triangle $BAG$ in which $AB = AC= 9$ inches and $BC= 12$ inches. $P$ is a point on $AB$ distant $6$ inches from $A$. By considering the sector of a circle which can be rolled into the form of the given cone, calculate the length of the shortest path on the surface from $P$ to $C$ and find how near this path approaches $A$.

3. Obtain an expression of the fourth degree in $x$, which shall have the values $a, b, c, d, e$ respectively corresponding to the values $-2, -1, 0, +1, +2$ of $x$. Reduce your expression to the form
$$y = c+px+\frac12qx^2+\frac16rx(x^2+1)+\frac1{24}sx^2(x^2-1),$$
where $p = \frac12(d-b), \;q = d-2c+b, \;r = \frac12(e-2d+2b-a), \;s = e-4d+6c-4b+a.$

4. Resolve the expression $\frac{9}{(x-1)(x+2)^2}$ into partial fractions and find the general term of this expression when expanded in ascending powers of $x$.

5. Shew that the equations of any two circles can be put in the form
$$ x^2+y^2+2gx+c = 0,\;\;\; x^2+y^2+2g'x+c = 0.$$
$\;\;\;$ A variable circle is one of a definite co-axal system, and a perpendicular is drawn from a fixed point on its polar with respect to the variable circle. Shew that the locus of the foot of the perpendicular is a circle whose centre is on the common radical axis of the system of circles.

6. Obtain a quadratic equation whose roots are the lengths of the radii $PQ, PR,$ drawn from the point $P(x_0,y_0)$ in the direction making an angle $theta$ with the axis of $x,$ to meet the parabola $y^2 = 4ax$ in the points $Q, R$ ; and deduce an expression for the product of the lengths $PQ, PR$.
$\;\;\;$ If $P$ is a point on the parabola, prove that the length of the chord through $P$ in the given direction is equal to $4a \sin (\alpha-\theta) \csc^2\theta \csc \alpha,$ where $a$ is the inclination of the tangent at $P$ to the axis of $x$.

7. Find the coordinates of the pole of the line $lx + my = n$ with respect to the conic $\alpha x^2 + \beta y^2 = \gamma,$ and deduce the condition that the line should touch the conic.
$\;\;\;$ The points $A, A'$ are the ends of the major axis of a conic and $PAQ, P'A'Q'$ are tangents to the conic there; if $PP', QQ'$ are two other tangents to the conic, prove that $AP \cdot A'P' = AQ \cdot A'Q'$ and that the lines $PQ', P'Q$ intersect on $AA'$.

8. Prove that the nth differential coefficient of $e^{ax} \cos bx$ is
$$ (a^2 + b^2)^{\frac n 2} e^{ax} \cos \left(bx + n\tan^{-1}\frac b a \right).$$
$\;\;\;$ Prove that, if $ y = (x+(1+x^2)^{\frac12})^m$ and $y_n$ denotes $\frac{d^n y}{dx^n},$
$\;\;\; (1) \;\;\; (1+x^2)y_2 + xy_1 - m^2y = 0;$
$\;\;\; (2) \;\;\; (1+x^2)y_{n+2} + (2n+1)xy_{n+1} + (n^2 - m^2)y_n = 0.$

9. Differentiate $\tan^{-1}\frac y x$ partially with respect to $x$ and with respect to $y$.
$\;\;\;$ Explain the meanings of $\frac{\partial x}{\partial r}$ and $\frac{\partial r}{\partial x},$ where $x, y$ are the rectangular coordinates of a point, $r, \theta$ its polar coordinates, and illustrate them geometrically. Prove that
$$ \frac{\partial^2 r}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 r}{\partial y^2} = \left(\frac{\partial^2 r}{\partial x \partial y}\right)^2.$$

10. A circle of radius $a$ rolls on a fixed circle of radius $2a$. Shew that the equation of the curve described by a point on the circumference of the rolling circle can be expressed in the form $p = 4\alpha \sin \frac{\psi}{2},$ where $p$ is the perpendicular from the origin on the tangent and $\psi$ is the angle the perpendicular makes with a fixed line.
$\;\;\;$ Find the radius of curvature at any point of this curve, and shew that the $(p, r)$ equation of the locus of the centres of curvature is $4 (r^2- a^2) = 3 p^2.$


โจทย์ครบทั้ง 10 ข้อของชุดนี้แล้ว ... เชิญตะลุยโจทย์ให้หนำใจเลยครับ

[Switchgear]

ตอนนี้ผมได้ Problems and Solutions ของ Tripos ปี 1878 ฉบับเต็มมาแล้ว (แค่ปีเดียวยังหนาตั้ง 238 หน้า)
หากมีโอกาสจะโพสต์ให้เพื่อนๆ ได้อ่านกัน ซึ่งคิดว่าอาจจะแยกกระทู้ไว้ต่างหาก

[nooonuii]

3. (ii) เทียบสัมประสิทธิ์ เราจะได้ระบบสมการ
$A+B=a$

$Ap+Bq=-b$

$Ap^2+Bq^2=c$

ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการเมทริกซ์สองสมการ คือ

$\pmatrix{1 & 1 \\ p & q} \pmatrix{A \\ B} = \pmatrix{a \\ -b}$

$\pmatrix{p & q \\ p^2 & q^2} \pmatrix{A \\ B} = \pmatrix{-b \\ c}$

แก้ทั้งสองสมการจะได้

$A=\dfrac{qa+b}{q-p}=\dfrac{-bq^2-cq}{pq(q-p)}$

ดังนั้น

$q=-\dfrac{bp+c}{ap+b}$

เราจึงได้

$A=\dfrac{qa+b}{q-p}=\dfrac{ac-b^2}{ap^2+2bp+c}$

[Switchgear]

กำเนิดของคำว่า Tripos

อาจมีบางคนอย่างรู้ที่มาของคำว่า Tripos อย่างละเอียดและถูกต้อง ซึ่งหลายคนอาจหาอ่านได้จากพวก Wikipedia อยู่แล้ว แต่ว่ายังมีแหล่งข้อมูลบางแห่งที่ค้นหาในเน็ตได้ยาก อย่างเช่น ข้อมูลในหนังสือยุคเก่าที่กล่าวถึงประวัติของ Tripos เป็นต้น

ข้อความต่อไปนี้ผมคัดจากหนังสือ A History of the Study of Mathematics at Cambridge แต่งโดย W.W. Rouse Ball (Fellow and Lecturer of Trinity College, Cambridge; Author of A History of Mathematics) เมื่อปี 1889 ซึ่งน่าจะให้ข้อมูลได้ถูกต้องชัดเจนกว่าแหล่งข้อมูลอื่น

$\;\;\;$ The curious origin of the term tripos has been repeatedly told, and an account of it may fitly close this chapter. There were three principal occasions on which questionists were admitted to the degree of bachelor. The first of these was the comitia priora held on Ash-Wednesday for the best men in the year. The next was the comitia posteriora which was held a few weeks later, and at which any student who had distinguished himself in the quadragesimal exercises subsequent to Ash-Wednesday had his seniority reserved to him. Lastly, there was the comitia minora, or the general bachelor's commencement, for students who had in no special way distinguished themselves. In the fifteenth century an important part in the ceremony on each of these occasions was taken by a certain "ould bachilour," who as the representative of the university had to sit upon a three-legged stool or tripos "before Mr Proctours" and test the abilities of the would-be graduates by arguing some question with the "eldest son," who was the senior and representative of them. To assist the latter in what was generally an unequal contest, his "father," that is, the officer of his college who was to present him for his degree, was allowed to come to his assistance.

$\;\;\;$ The ceremony was a serious one, and had a certain religious character. It took place in Great St Mary's Church, and marked the admission of the student to a position with new responsibilities, while the season of Lent 1 was chosen with a view to bring this into prominence. The puritan party objected to the observance of such ecclesiastical ceremonies, and in the course of the sixteenth century they converted the proceedings into a sort of licensed buffoonery. The part played by the questionist became purely formal. A serious debate still sometimes took place between the father of the senior questionist and a regent master, who represented the university; but the discussion always began with an introductory speech by the bachelor, who came to be called Mr Tripos just as we speak of a judge as the bench or of a rower as an oar. Ultimately the tripos was allowed to say pretty much what he pleased, so long as it was not dull and was scandalous. The speeches he delivered or the verses he recited were generally preserved by the registrary, and were known as the tripos verses : originally they referred to the subjects of the disputations then propounded. The earliest copies now extant are those for 1575.

$\;\;\;$ The university officials, to whom the personal criticisms in which the tripos indulged were by no means pleasing, repeatedly exhorted him to remember "while exercising his privilege of humour, to be modest withal." In 1740, says Mr Mullinger, "the authorities after condemning the excessive license of the tripos announced that the comitia at Lent would in future be conducted in the senate-house ; and all members of the university, of whatever order or degree, were forbidden to assail or mock the disputants with scurrilous jokes or unseemly witticisms. About the year 1747-8, the moderators initiated the practice of printing the honour lists on the back of the sheets containing the tripos-verses, and after the year 1755 this became the invariable practice. By virtue of this purely arbitrary connection these lists themselves became known as the tripos; and eventually the examination itself, of which they represented the results, also became known by the same designation."

$\;\;\;$ A somewhat similar position at the comitia majora (or congregation held on Commencement-day) to that of the tripos on Ash-Wednesday was filled by the prevaricator or varier, who was the junior M.A. regent of the previous year, or his proxy. But he never indulged in as much license as the "ould bachilor," and no determined effort to turn that ceremony into a farce was ever made.

$\;\;\;$ The tripos and prevaricator ceased to recite their speeches about 1750, but the issue of the verses by the former has never been discontinued. At present these verses are published on the last day of the Michaelmas term, and consist of four odes, usually in Latin but occasionally in Greek, in which current events or topics of conversation in the university are treated satirically or seriously. They are written for the two proctors and two moderators by undergraduates or commencing bachelors, who are supposed each to receive a pair of white kid gloves in recognition of their labours. Since 1859 the two sets, corresponding to the two days of admission, have been printed together on the first three pages of a sheet of foolscap paper. On the fourth page the order of seniority of the honour men of the year is printed crosswise in columns, the sheet being folded into four parts, so that all the names can be read without opening the page to more than half its extent.

$\;\;\;$ Thus gradually the word tripos changed its meaning "from a thing of wood to a man, from a man to a speech, from a speech to two sets of verses, from verses to a sheet of coarse foolscap paper, from a paper to a list of names, and from a list of names to a system of examination."


ใครมีฝีมือแปลเจ๋งๆ ช่วยแปลให้เพื่อนคนอื่นอ่านด้วยก็จะดีครับ เพราะว่ากำเนิดของคำยาวน่าดูเลย
.

[Switchgear]

ผมแวะเอาโจทย์ชุดที่ 2 มาเพิ่มในความเห็นที่ 10 แล้วนะครับ (ข้อ 4-6, ยังเหลือข้อ 7-10 สมการยุ่งหน่อย)
.

[Switchgear]

ตอนนี้โจทย์ชุดที่ 2 ในความเห็นที่ 10 ครบทั้ง 10 ข้อแล้วครับ ...
.