Topology again!!!!

[suan123]

Let $(X,d)$ be a compact metric space and let $f\ :\ X\rightarrow\ X$ be a function such that for all $x,\ y \in X$ such that $x\neq y\ ;\ d(f(x),f(y)) < d(x,y)$
show that 1. there is at most one element $a\in X$ such that $f(a) = a$.
2. $f$ is continuous.
3. consider the map $\phi : X \rightarrow \Re^+$ defined by $\phi (x) = d(x,f(x))$. show that there is an $x_0 \in X$ such that $\phi (x) = \inf\{\phi (x) : x\in X\}$
4. $f$ has a unique fixed point.
5. give an example of a compact metric space $X$ and a $f : X\rightarrow X$ which satisfies the hypothesis but which is not contraction.

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

Let (X,d) be a compact metric space and let $f : X\rightarrow X$ be a function such that for all $x , y \in X $ such that for $ x\neq y ; d(f(x),f(y)) < d(x,y) $
show that
1. there is at most one element $a\in X$ such that f(a) = a.
2. f is continuous.
3. Consider the map $\phi : X \rightarrow R^+ $ defined by $\phi (x) = d(x,f(x))$ ,show that there is an $x_0 \in X$ such that $\phi (x_0) = inf \{\phi (x) : x\in X\} $
4. f has a unique fixed point.
5. give an example of a compact metric space X and a $f : X\rightarrow X $ which satisfies the hypothesis but which is not contraction.

HINT:

2. Using $ \epsilon - \delta $ definition of continuity and let $ \delta = \epsilon $. In fact, f is uniformly continuous too.

3. At first, you should prove that $ \phi(x) $ is continuous by simply using $ \epsilon - \delta $ definition and $ \phi(x)- \phi(y) \leq d(x,y)+d(f(x),f(y)) $ . Since $ \phi(x)$ is continuous on compact metric space, it attains minimum say $x_0$

1. Use (3) to show that it must have fixed point. By contradiction , If $ x_0 \neq f(x_0) $ , consider $d(f(x_0),f(f(x_0)) $ to derive contradiction.

4. Use contradiction and hypothesis of f

p.s. ขอโทษที่ไม่ไ่ด้อธิบายละเอียดนะครับ ช่วงนี้ผมมีเวลาค่อนข้างจำกัด

[nooonuii]

ปัญหานี้ผมเคยพิสูจน์ไว้แบบเต็มๆในวิทยานิพนธ์ของผมเองครับ ถ้าสนใจก็ลองค้นในห้องสมุดคณิตศาสตร์จุฬาฯ หรือไม่ก็ที่หอกลางครับ
ชื่อวิทยานิพนธ์ The Fixed Point Set and the Convergence Set of a Continuous Function

แต่ถ้าอยากได้บทพิสูจน์ที่เป็นต้นแบบก็ลองค้นจากหนังสือ

An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory by Mohamed A. Khamsi and William A. Kirk

ที่ห้องสมุดคณิตศาสตร์จุฬาฯมีครับ ถ้าผมจำไม่ผิดเล่มนี้มีตัวอย่างสำหรับข้อ 5 ด้วยครับ ผมจำไม่ได้แล้วว่าหน้าตาฟังก์ชันเป็นยังไง แต่จำได้ว่าพิสูจน์โดย Mean Value Theorem
ผมเองก็พยายามสร้างฟังก์ชันอยู่เหมือนกัน เดี๋ยวคิดออกแล้วจะมาบอกครับ

[suan123]

มันเป็นการบ้านเด็กปี 1(econ)เองอะครับ ผมเคยเรียนแต่ไม่ยากเท่านี้เหมือนกัน ไม่รู้จะตอบน้องยังไงดีเลย

[M@gpie]

เด็ก Econ ต้องเรียน Topology ด้วยเหรอครับเนี่ย ตกใจ

[suan123]

เพราะงั้นถึงต้องเรียนถามเหล่าผู้อาวุโสไงครับ ไม่งั้นตายแน่