ข้อสอบคณิตศาสตร์ IJSO ปี 2550 รอบแรก

[nopbox]

มี 3 หน้า ครับ

[teamman]

ใช่ครับไปสอบมาเหมือนกันทำได้ไม่กี่ข้อเอง ครับ

[teamman]

ช่วยเฉลย ข้อ 24 กับ 25 ให้ทีนะครับผมคิดไม่ออกอะครับ
ปล. ขอวิธีคิดด้วยนะครับ

[t.B.]

ผิดอย่าว่ากันนะเดี๋ยวนี้ผมทำผิดบ่อย - -*

24)
$(sec^2+tan^2)(sec^2-tan^2)=2$
$sec^2+tan^2=2$
$1+tan^2+tan^2=2$
$2tan^2=1$
$tan^2=1/2$

หา
$cosec^2+cot^2$
$=1+cot^2+cot^2$
$=1+2cot^2$
$=1+2\frac{1}{tan^2}$
$=1+2\times 2$
$=5$

PS.ผิดตรงไหนแย้งได้นะครับ

[หยินหยาง]

ข้อ 25. ตอบ ค.$(\sqrt{5} )$

[gon]

ขอบคุณสำหรับข้อสอบครับ ค่อยดูเป็นข้อสอบ ม.ต้น หน่อย.... ระยะนี้เจอแต่ข้อสอบประถมระดับ ม.ปลายทั้งนั้นเลย

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

วิธีทำข้อ25ของผมนะ
จาก ให้ AC=x หน่วย BC=2x หน่วย
$sin^2A+sin^2B=1$
$sin^2A=1-sin^2B$
เทียบสปสกับสูตร $sin^2A=1-cos^2A$
จะได้ $sin^2B=cos^2A$ $;$ $B=A$ แทนกลับไปในสมการแรก
$sin^2A+sin^2A=1$
$sin^2A=1/2$
$sinA=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$A=B=45^{\circ}$ เพราะฉะนั้นจะได้มุม $C=90(A+B+C=180)$
ทีนี้ก็ใช้พีทากอรัสหา AB ได้ $\sqrt{5}x$ หน่วย
$\frac{AB}{BC}$= $\frac{\sqrt{5}x}{x}$=$\sqrt{5}$
ปล.อยากทราบว่ามีใครทำแบบอื่นมั้ยของวิธีผมมันแปลกๆ

ถ้า มุม A = มุม B แล้ว AC = BC ซึ่งขัด กับโจทย์ที่กำหนดให้ AC = 2*BC
การเทียบสปส. ในตรีโกณต้องระวังด้วยครับ

[t.B.]

รบกวนช่วยเฉลยวิธีถูกให้หน่อยครับ

[nongtum]

ข้อสอบม.ต้นชุดนี้ไม่ยากมาก แต่หลายข้อชวนให้ใช้แคลคูลัสเสียจริงๆ...
หากใครอยากเข้ารอบ คงต้องกะเต็มซะละมั้ง
ผมขอลงแค่คำตอบนะครับ หากใครสนใจวิธีทำข้อใด หรือเห็นว่าข้อไหนผิด คิดได้ไม่ตรงกัน บอกกันได้นะครับ

1. ค
2. ข
3. ง
4. ค
5. ก
6. ก
7. ง
8. ข
9. ง
10. ค
11. ง
12. ค
13. (ค่ามากสุดในข้อนี้จะเกิดขึ้น เมื่อเอาลวดไปทำสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างเดียว ซึ่งจะได้อัตราส่วนเป็นศูนย์
แต่หากโจทย์บอกว่าพื้นที่รวมน้อยที่สุด ข้อนี้จะตอบตัวเลือก ก ครับ)
14. ข (แนวคิดโดยคุณ Tinnyo Dragon)
15. ข
16. ข
17. ค
18. ง
19. ข
20. ข
21. ก
22. ข
23. ก
24. ง
25. ค (จากโจทย์จะได้ $\sin B=\cos A$ ทำให้สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่เหลือก็ไล่คิดด้านสามเหลี่ยมตรงๆครับ)

[YOYO123]

คุณ nongtum แสดงวิธีทำข้อ 15,17 ให้ดูหน่อยคับ

[jabza]

คุณพี่ nongtum ช่วยhintข้อ. 5,9,10,19. ปล.ข้อ.9,10ผมได้คำตอบ=2.

[teamman]

แนวคิดข้อ 19 ลองวาดรูปดูครับ จะเห็นว่า รัศมีของเชือกเป็น 4 ซม. ลองดูนะครับ

รัศมีของวงกลม เท่ากับ 4 แต่ว่าติดคอกที่เป็นรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น ก็จะได้ พท.= 3/4ไพ 16 =12 ไพ


แต่บริเวณคอกข้างๆๆวัวก็สามารถเดินได้อีกเป็นรัศมี 2 ซม.
แต่เดินได้รูป1/4ของวงกลมเท่านั้น แต่ถ้าเราดูอีกข้างก็จะเห็นเหมือนกัน ดังนั้นวัวจึงเดินได้อีก 1/2ไพ 2^2

= 2ไพ
รวมพื้นที่ที่วัวสามรถกินหญ้าได้
= 14 ไพครับ

ฟังดูอาจมั่วนะ อิอิ

[nongtum]

ชำระบัญชีครับ ใครขอข้อไหนดูกันเองเน้อ

5. จากโจทย์จะได้ $AB=1$ เพราะ $A+B=4$ ดังนั้น $A-B=\sqrt{(A+B)^2-4AB}=2\sqrt3$

9. หากไม่อยากหาอนุพันธ์ ให้เขียน $f(x)=x^2+\sqrt{4-x^2}$ ในรูป'พหุนาม'ของ $\sqrt{4-x^2}$ แล้วหา'จุดยอด'ของ'พาราโบลา'นี้ครับ
ค่าต่ำสุดคือ $f(0)=2$ ค่าสูงสุดคือ $f(\pm\frac{\sqrt{15}}{2})=17/4$ ผลต่างจึงเป็น 9/4 ครับ

10. แปลงสมการโดยใช้ $x:=a-1,\ y:=b-1$ แล้วแก้สมการหา $x,\ y$ จะได้ $a=3+\sqrt3,\ b=3-\sqrt3$ แทนค่าจะได้ $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4$

15. ข้อนี้หากไม่ใช้กฎโคไซน์ ก็ให้ลากเส้นส่วนสูงไปยังฐาน(ในที่นี้คือเส้นแทยงมุมที่เราต้องการหา) ที่เหลือคือตรีโกณมิติม.ต้นครับ

17. ลาก $AP$ และลาก $MT$ ตั้งฉากกับ $BC$ จากโจทย์จะพบว่า (ในที่นี้ $\triangle$ แทนคำว่า พื้นที่สามเหลี่ยม)
$$\frac{\triangle{ACN}}{\triangle{BCN}}
=\frac{\triangle{APN}}{\triangle{BPN}}
=\frac{\triangle{APC}}{\triangle{BPC}}
=\frac{2\triangle{PMC}}{\triangle{BPC}}=\frac12$$
ดังนั้น $\displaystyle{
\frac{\triangle{BPC}}{\triangle{BMC}}=\frac{BP}{BM}=\frac{PS}{MT}=\frac{PS}{AR/2}=\frac{4}{5}
}$ ซึ่งหมายถึง $\displaystyle{\frac{PS}{AR}=\frac{2}{5}}$

19. แนวคิดเดียวกันกับของคุณ teamman เลยครับ อ้อ $\pi$ อ่านว่า ไพ หรือ พาย นะครับ

[YOYO123]

ขอวิธีทำ ข้อ 14 และ 20 หน่อยคับ

[t.B.]

ข้อ20)
ใช้ตรีโกณหาสูงเอียง$=1/2\times tan60^{\circ} =\frac{\sqrt{3} }{2}$
จากนั้นหารัศมีวงกลมซึ่งเป็นฐานของสามเหลี่ยมที่ต้องการจะหาความสูง
จากตรีโกณ
พ.ท.$\triangleแนบวงกลม=rs$ $(s=\frac{a+b+c}{2})$
$\frac{\sqrt{3}}{4}=r\times \frac{3}{2}$
$r=\frac{\sqrt{3}}{6}$
ใช้พีทากอรัสหาhต่อ
$h=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{6})^2 }$
$h=\sqrt{\frac{2}{3} }$

ปล.หวังว่าคงดูรู้เรื่อง
ปล2.ที่จริงมีวิธีหา r โดยใช้ความรู้ตรีโกณ ม.3 โดยลากจากจุดศูนย์กลางไปมุมทั้งสามมุมของสามเหลี่ยม จะแบ่งครึ่งมุมเป็นมุมละ30ทันทีแล้วลาก r ลงมาตั้งฉากด้านใดด้านหนึ่งแล้วใช้ตรีโกณก็จะหา r ได้เช่นกัน